武汉中学2022-2023学年度九上第一次月考数学试题

武汉中学2022-2023学年度九上第一次月考数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．B．C．D．2．为了筹备班级初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．平均数B．加权平均数C．中位数D．众数3．若是关于x的一元二次方程的解，则（）A．B．C．D．4．用配方法将二次三项式变形，结果是（）A．B．C．D．5．已知点（，），（，6），（，）都在直线上，则，，的值的大小关系是（）A．B．C．D．6．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得的抛物线为（）A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．8第7题图第8题图8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=5cm，接着把活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．5cmB．cmC．10cmD．15cm,9．已知的图象过点A（0，），B（，），C（3，），则，，的大小关系是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y＝ax2+（a﹣2）x+a（a为整数）与直线y＝﹣4x+2至少有一个交点是整点（横、纵坐标均为整数的点叫整点），则满足条件的a值有（　　）个．A．0B．1C．2D．3二、填空题（每小题3分，共18分）11．若y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函数，则a＝　　．12．抛物线的顶点坐标是________．13．函数与的图象如图所示，则不等式的解集为________．第13题图第16题图14．若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是________．15．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程的两根，则m的值是________．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=AB，则PA+PD的最小值为________．三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）解方程：（1）；（2）18．（8分）如图，的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．（1）求证：是矩形；,（2）求AD的长．19．（8分）已知二次函数的图象以A（，4）为顶点，且过点B（2，）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．20．（8分）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题（1）这个班共有男生________人，共有女生________人；（2）求初二1班女生体育成绩的众数是________，男生体育成绩的中位数是________；（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A等，试估计全年级体育测试成绩达到A等的有多少名学生？22．（9分）“全民防控新冠病毒”,期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．23．（12分）如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）过点F作FN⊥FC交BD的延长线于点N，若BD与EF交于点M，连接AM，求证：AM⊥EF；（3）在（2）的条件下，如果EF=6，求AE的长．24．（12分）阅读下面材料，回答问题,材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；材料二：一元二次方程（）两根，有如下关系：，．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若直线（）与x轴交于点A（，0），与抛物线（）交于B（，），C（，）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标，，构成“和谐三组数”；②若，，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围答案解析,一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解析】解：A、是二元二次方程，故A选项错误．B、未知数在分母上，不是一元二次方程，故B选项错误；、是一元一次方程，故错误；、是一元二次方程，故正确；故选：D．2．为了筹备班级初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．平均数B．加权平均数C．中位数D．众数【答案】D【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．【解析】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选：．3．若是关于x的一元二次方程的解，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】将代入原方程即可求出的值，然后整体代入求值即可．【解析】解：将代入原方程可得：，，故选：C．4．用配方法将二次三项式变形，结果是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．【解析】解：，．故选：．,5．已知点（，），（，6），（，）都在直线上，则，，的值的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用一次函数的性质可得答案．【解析】解：中，随增大而增大，，，故选：．6．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得的抛物线为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解析】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，故选：．7．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于（）A．B．C．D．8第7题图第8题图【答案】A【分析】先图形折叠的性质得到，，再由是的中点可求出的长，再求出的度数，设，则，在中利用勾股定理即可求解．【解析】解：由折叠的性质得，，因为，为中点，故，,又因为，所以，则，设，则，在中，根据勾股定理，，，，（舍去）．．故选：．8．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=5cm，接着把活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．5cmB．cmC．10cmD．15cm【答案】B【分析】如图1，图2中，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可．【解析】解：如图1，图2中，连接．图1中，四边形是菱形，，，是等边三角形，，在图2中，四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，；故选：．9．已知的图象过点A（0，），B（，），C（3，），则，，的大小关系是（）A．B．C．D．,【答案】B【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，然后根据二次函数的增减性即可得出答案．【解析】解：∵，图象的开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，根据二次函数的对称性可知点C（3，）的对称点为（，）∵，∴，故选：．10．已知抛物线y＝ax2+（a﹣2）x+a（a为整数）与直线y＝﹣4x+2至少有一个交点是整点（横、纵坐标均为整数的点叫整点），则满足条件的a值有（　　）个．A．0B．1C．2D．3【解答】解：联立y＝ax2+（a﹣2）x+a和y＝﹣4x+2，∴ax2+（a﹣2）x+a＝﹣4x+2，∴△＝（a+2）2﹣4a（a﹣2）≥0，∴6−433≤a≤6+433，∴a可以取的整数为1，2，3，4当a＝1时，y＝x2﹣x+1和y＝﹣4x+2，交点不是整数点；当a＝2时，y＝2x2+2和y＝﹣4x+2，交点为（0，2），（﹣2，10）是整数点；当a＝3时，y＝3x2+x+3和y＝﹣4x+2，交点不是整数点；当a＝4时，y＝4x2+2x+4和y＝﹣4x+2，交点为（﹣1，6）是整数点；综上所述，符合条件的a＝2，a＝4；故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函数，则a＝　　．【解答】解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，y＝（a+3）x|a|﹣1+3x是二次函数，∴a＝﹣3（舍去），a＝3．故答案为3．12．抛物线的顶点坐标是________．【答案】（，）,【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解析】解：∵是抛物线的顶点式，抛物线的顶点坐标为（，）．13．函数与的图象如图所示，则不等式的解集为________．第13题图第16题图【答案】【分析】结合图象写出不等式的解集即可．【解析】解：函数与的图象交点横坐标为2，由图象可知，不等式的解集为．故答案为．14．若实数a，b是方程的两个实数根，则的值是________．【答案】4【分析】根据一元二次方程根与系数的关系若任意一元二次方程有两根，，则，代入计算即可．【解析】解：、是方程的两个实数根，∴；15．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于x的一元二次方程的两根，则m的值是________．【答案】12或16【分析】当等腰三角形的底边为6时，根据等腰三角形的性质得到关于的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的意义得到△，解得，再解方程求出两根，然后根据三角形三边的关系判断符合题意；当等腰三角形的腰为6时，根据等腰三角形的性质得到为关于的一元二次方程一个根，把代入方程得得，然后解方程后根据三角形三边的关系判断符合题意．【解析】解：当等腰三角形的底边为6时，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根，,根据根的判别式的意义得△，解得，此时方程为，解方程得，因为，所以符合题意；当等腰三角形的腰为6时，则为关于的一元二次方程一个根，把代入方程得，解得，此时方程为，解方程得，，因为，所以符合题意；综上所述，的值为12或16．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=AB，则PA+PD的最小值为________．【答案】【分析】作关于的对称点，连接交于，则的值最小，过作交的延长线于，过作于，则，，根据勾股定理即可得到结论．【解析】解：作关于的对称点，连接交于，则的值最小，过作交的延长线于，过作于，则，，，，，，，，，，，，，，的最小值为，,三、解答题（共9小题，共72分）17．（6分）解方程：（1）；（2）【解析】解：（1），所以所以，；（2），或，所以，．18．（6分）如图，的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．（1）求证：是矩形；（2）求AD的长．【解析】（1）证明：为等边三角形，，，四边形是平行四边形，，，，是矩形；（2）解：是矩形，，，，．19．（6分）已知二次函数的图象以A（，4）为顶点，且过点B（2，）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与x轴的交点坐标．,【解析】解：（1）由顶点，可设二次函数关系式为．二次函数的图象过点，点满足二次函数关系式，，解得：．二次函数的关系式是；（2）令，则，解得：，，故图象与轴的交点坐标是、20．（8分）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题（1）这个班共有男生________人，共有女生________人；（2）求初二1班女生体育成绩的众数是________，男生体育成绩的中位数是________；（3）若全年级有900名学生，体育测试9分及以上的成绩为A等，试估计全年级体育测试成绩达到A等的有多少名学生？【解析】解：（1）由男生的条形统计图得：男生人数为：人，则女生为人，答：这个班共有男生20名，女生25名．（2）从扇形统计图中可以看出，8分的占比最多，因此女生的众数为8分，男生20人的成绩从小到大排列后处于第10、11位的两个数都是8分，因此男生的中位数是8分，答：女生的众数是8分，男生的中位数是8分．,（3）女生中9人为．男生中8人为．设630名学生中成绩为等的人．人，所以全年级等学生人数340人，答：全年级等的销售人数大约有340人．22．“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）121620日销售量y（千克）220180140（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．【解析】解：（1）设关于的函数解析式为，将，代入得：，解得：．；（2）由题意得：，（3）由题意得：，，当时，解得：，，函数的二次项系数为正，图象开口向上，,18≤x≤24，该产品销售单价的范围为18≤x≤24．23．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）过点F作FN⊥FC交BD的延长线于点N，若BD与EF交于点M，连接AM，求证：AM⊥EF；（3）在（2）的条件下，如果EF=6，求AE的长．（1）证明：四边形为正方形，，，在和中，，，；（2）证明：由（1）得：△ABE≌△ADF，∴∠FAD=∠EAB，∴∠FAE=∠DAB=90°，∴△FAE是直角三角形，如图，过E作EH∥CD，交BD于H，∴∠MHE=∠MDF，∠MEH=∠MFD，∵四边形ABCD为正方形，∴∠HBE=45°，∴△HBE是等腰直角三角形，∴EH=BE=DF，在△MHE和△MDF中，∵，,∴△MHE≌△MDF（ASA），∴EM=FM，∵AE=AF，∴AM⊥EF（3）由（2）可知△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理得：又∵AE=AF，EF=6∴∴24．（10分）阅读下面材料，回答问题材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；材料二：一元二次方程（）两根，有如下关系：，．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若直线（）与x轴交于点A（，0），与抛物线（）交于B（，），C（，）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标，，构成“和谐三组数”；②若，，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【解析】解：（1）不能，理由如下：、2、3的倒数分别为1、、，，，．实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）①、、均不为0，，，都不为0，,直线与轴交于点，，，解得，联立直线与抛物线解析式，消去可得，即，直线与抛物线交与，，，两点，、是方程的两根，，，，，，构成“和谐三组数”；②，，，，，且，整理可得，解得，，．，，当时，随的增大而减小，当时，有最大临界值，当时，有最小临界值，当时，随的增大而增大，当时，有最小临界值，当时，有最大临界值，且，,到原点的距离为非负数，且．