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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学科模拟试卷1含答案

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  • 上传时间:2021-06-25
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    1、2021 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 科 模 拟 试 卷 1( 命 题 人 : Mr.Jin; 考 试 时 间 : 120 分 钟 ; 满 分 : 150 分 )姓 名 : _ 毕 业 学 校 : _ 准 考 证 号 : _一 、 单 项 选 择 题 : 本 题 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的 。1、 如 图 , 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 为A. B. C. D. 2、 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 设 , 为 不 同 的 两 点 , 直 线 。

    2、l 的 方 程 为 程为程 , 程为程程为程, 下 面 四 个 命 题 中 的 假 命 题 为A 存 在 唯 一 的 实 数 , 使 点 N 在 直 线 上B 若 , 则 过 M, N 两 点 的 直 线 与 直 线 l 平 行C 若 , 则 直 线 经 过 线 段 M, N 的 中 点D 若 , 则 点 M, N 在 直 线 l 的 同 侧 , 且 直 线 l 与 线 段 M, N 的 延 长 线 相 交3、 黎 曼 函 数 是 一 个 特 殊 的 函 数 , 由 德 国 著 名 的 数 学 家 波 恩 哈 德 黎 曼 发 现 提 出 , 在 高 等 数 学 中 有 着 广 泛 的 应 用 .其 定义 黎 曼 函 数 为 : 当 。

    3、( 为 正 整 数 , 是 既 约 真 分 数 ) 时 , 当 或 或 为 上 的无 理 数 时 .已 知 、 为、 程 为 都 是 区 间 内 的 实 数 , 则 下 列 不 等 式 一 定 正 确 的 是A 晦程为 晦程晦为 B 晦为 晦晦为C 晦程为 晦程晦为 D 晦为 晦晦为4、 古 希 腊 哲 学 家 毕 达 哥 拉 斯 曾 说 过 : “美 的 线 型 和 其 他 一 切 美 的 形 体 都 必 须 有 对 称 形 式 ” 在中 华 传 统 文 化 里 , 建 筑 、 器 物 、 书 法 、 诗 歌 、 对 联 、 绘 画 几 乎 无 不 讲 究 对 称 之 美 如 清 代诗 人 黄 柏 权 的 茶 壶 回 文 诗 ( 。

    4、如 图 ) 以 连 环 诗 的 形 式 展 现 , 20 个 字 绕 着 茶 壶 成 一 圆 环 , 不论 顺 着 读 还 是 逆 着 读 , 皆 成 佳 作 数 学 与 生 活 也 有 许 多 奇 妙 的 联 系 , 如 2020 年 02 月 02 日 ( 20200202)被 称 为 世 界 完 全 对 称 日 ( 公 历 纪 年 日 期 中 数 字 左 右 完 全 对 称 的 日 期 ) 数 学 上 把20200202 这 样 的 对 称 数 叫 回 文 数 , 两 位 数 的 回 文 数 共 有 9 个 晦 , 则 在 三 位 数 的回 文 数 中 , 出 现 奇 数 的 概 率 为A. B. C. D. 5、 令 晦程 。

    5、程 程 程程程 (xR), 则 程 程程程A B C D 6、 函 数 晦 晦程 程程为, A 0, 0, k, bR, 则 函 数 晦在 区 间 ( , )上 的 零 点 最 多 有A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个7、 若 两 个 正 四 面 体 的 顶 点 都 是 一 个 棱 长 为 1 的 正 方 体 的 顶 点 , 则 这 两 个 正 四 面 体 公 共 部 分 的 体 积 为A. t B. C. D.t 8、 百 善 孝 为 先 , 孝 敬 父 母 是 中 华 民 族 的 传 统 美 德 .因 父 母 年 事 渐 高 , 大 张 与 小 张 兄 弟 俩 约 定 : 如 果 两 人 在 同 一 天 休息 就 一。

    6、 起 回 家 陪 伴 父 母 , 并 把 这 一 天 记 为 “家 庭 日 ”.由 于 工 作 的 特 殊 性 , 大 张 每 工 作 三 天 休 息 一 天 , 小 张 每 周 星 期一 与 星 期 五 休 息 , 除 此 之 外 , 他 们 没 有 其 它 休 息 日 .已 知 2021 年 1 月 1 日 ( 星 期 五 ) 是 他 们 约 定 的 “家 庭 日 ”, 则 2021年 全 年 他 们 约 定 的 “家 庭 日 ”共 有A 24 个 B 26 个 C 27 个 D 28 个二 、 多 项 选 择 题 : 本 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 。 在 每 小 题 给 出 选 项 中 , 。

    7、有 多 项 符 合 题 目 要 求 , 全 部选 对 的 得 5 分 , 部 分 选 对 的 得 2 分 , 有 选 错 的 得 0 分 。9、 下 列 关 于 向 量 , 为, 的 运 算 , 一 定 成 立 的 有A 晦程为 程为 B 晦为 晦为 C 为 为 D 为 程 为10、 大 衍 数 列 来 源 于 乾 坤 谱 中 对 易 传 “大 衍 之 数 五 十 ”的 推 论 , 主 要 用 于 解 释 中 国 传 统 文 化 中 的 太 极 衍 生 原理 。 如 图 示 , 数 列 中 的 每 一 项 , 都 代 表 太 极 衍 生 过 程 中 曾 经 经 历 过 的 两 仪 数 量 总 和 ,其 前 10 项 依 次 是 ,此。

    8、 数 列 记 为 ,其 前 项 的 和 记 为 , 则 A. B. C. D. h11、 回 文 数 是 一 类 特 殊 的 正 整 数 , 这 类 数 从 左 到 右 的 数 字 排 列 与 从 右 到 左 的 数 字 排 列 完 全 相 同 , 如 1221, 15351 等都 是 回 文 数 若 正 整 数 i 与 n 满 足 2in 且 n4, 在 , 程上 任 取 一 个 正 整 数 取 得 回 文 数 的 概 率 记 为 Pi,在 10, 上 任 取 一 个 正 整 数 取 得 回 文 数 的 概 率 记 为 Qn, 则A 程 (2in 1) B C D 112、 已 知 为 坐 标 原 点 , 椭 圆 2 22 2: 。

    9、1( 0)x yC a ba b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 、 , 长 轴 长 为 , 焦 距 为 ,点 在 椭 圆 上 且 满 足 , 直 线 与 椭 圆 交 于 另 一 个 点 , 若 t , 点 在 圆 t 程 上 , 则 下 列 说 法 正 确 的 是A 椭 圆 C 的 焦 距 为 B 三 角 形 面 积 的 最 大 值 为 C 圆 在 椭 圆 C 的 内 部 D 过 点 的 圆 的 切 线 斜 率 为 三 、 填 空 题 : 本 题 共 4 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 20 分 。13、 已 知 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 , 且 晦晦 , 则 晦 _14、 利 用 计 算 机 绘 制 函。

    10、 数 图 象 时 可 以 得 到 很 多 美 丽 的 图 形 , 图 象 形 似 右 图 所 示 的 函 数 称 为 m 型 函数 , 写 出 一 个 定 义 域 为 且 值 域 为 的 m 型 函 数 是 _.15、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 抛 物 线 与 在 第 一 象 限 的 交 点 为A, 若 OA 的 斜 率 为 2, 则 16、 如 图 , 已 知 球 O 的 半 径 为 , 圆 为 球 O 的 两 个 半 径 均 为 2 的 截 面 圆 , 圆 面O、 圆 面 、 圆 面 两 两 垂 直 , 点 分 别 为 圆 O 与 圆 的 交 点 , 两 点 分 别 从 同 时 出 发 , 按 箭 头 。

    11、方 向 沿 圆 周 以 每 秒 t弧 度 的 角 速 度 运 动 , 直 到 两 点 回 到 起始 位 置 时 停 止 运 动 , 则 其 运 动 过 程 中 线 段 长 度 的 最 大 值 为 _; 研 究 发 现 线段 长 度 最 大 的 时 刻 有 两 个 , 则 这 两 个 时 刻 的 时 间 差 为 _秒 四 、 解 答 题 : 本 题 共 6 小 题 , 共 70 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。17、 ( 10 分 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 角 的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 , 圆 : 程 与 轴 正 半 轴的 交 点 是。

    12、 .若 圆 上 一 动 点 从 开 始 , 以 rad 的 角 速 度 逆 时 针 做 圆 周 运 动 , 秒 后 到 达 点 .设 .( 1) 若 且 , 求 函 数 的 单 调 递 增 区 间 ;( 2) 若 , ( t ) , 求 t .18、 ( 12 分 ) 已 知 1( ) 4 2xf x x R , 1 1 1,P x y , 2 2 2,P x y 是 函 数 ( )y f x 的 图 像 上 的 两 点 , 且 线 段 1 2PP 的 中 点 P 的 横 坐 标 是 12 .( 1) 求 证 : 点 P 的 纵 坐 标 是 定 值 ;( 2) 若 数 列 na 的 通 项 公 式 是 *, 1,2,3, ,n na。

    13、 f m N n mm , 求 数 列 na 的 前 m项 和 mS .19、 ( 12 分 ) 如 图 所 示 为 一 个 半 圆 柱 , E 为 半 圆 弧 CD 上 一 点 , R ( 1) 若 R , 求 四 棱 锥 E-ABCD 的 体 积 的 最 大 值 ;( 2) 有 以 下 三 个 条 件 , 请 你 从 中 选 择 两 个 作 为 条 件 , 求 直 线 AD 与 平 面 EAB 所 成 角 的 余 弦 值 Rt R t R ; 直 线 AD 与 BE 所 成 角 的 正 弦 值 为 ; t t t . 20、 ( 12 分 ) 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 只 球 队 进 行 单 循 环 小 组 赛 ( 每 两。

    14、 个 队 比 赛 一 场 ) , 比 赛 分 三 轮 , 每 轮 两 场 比 赛 , 第一 轮 第 一 场 甲 乙 比 赛 , 第 二 场 丙 丁 比 赛 ; 第 二 轮 第 一 场 甲 丙 比 赛 , 第 二 场 乙 丁 比 赛 ; 第 三 轮 甲 对 丁 和 乙 对 丙 两 场 比赛 同 一 时 间 开 赛 , 规 定 : 比 赛 获 胜 的 球 队 记 3 分 , 输 的 球 队 记 0 分 , 打 平 两 队 各 记 1 分 .三 轮 比 赛 结 束 后 以 积 分 多少 进 行 排 名 , 积 分 相 同 的 队 伍 由 抽 签 决 定 排 名 , 排 名 前 两 位 的 队 伍 小 组 出 线 .假 设 四 只 球 队 。

    15、水 平 相 当 , 即 每 场 比 赛双 方 获 胜 、 负 、 平 的 概 率 都 为 .( 1) 三 轮 比 赛 结 束 后 甲 的 积 分 记 为 X, 求 ;( 2) 若 前 二 轮 比 赛 结 束 后 , 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 球 队 积 分 分 别 为 3、 3、 0、 6, 问 甲 能 小 组 出 线 的 概 率 . 21、 ( 12 分 ) 已 知 晦 程 程 晦 程 程 ( 1) 讨 论 晦的 单 调 性 ;( 2) 若 函 数 晦 晦晦在 定 义 域 上 单 调 递 增 , 求 实 数 的 取 值 范 围 .22、 ( 12 分 ) 已 知 晦 晦椭 圆 t 程 为 晦 为 经 过 点 且 焦 距 。

    16、为 .( 1) 求 椭 圆 的 方 程 ;( 2) 过 椭 圆 的 右 焦 点 的 直 线 L 与 椭 圆 交 于 两 点 , 求 程 的 最 小 值 ;( 3) 右 图 是 椭 圆 旋 转 一 定 角 度 的 图 形 , 请 写 出 一 种 尺 规 作 图 方 案 以 确 定 其 对 称 中 心 的 位 置 , 并 在 答 卷 的 图 中 画出 来 ,( 不 必 说 明 理 由 ) . ( 22 题 图 ) ( 22 题 备 用 图 ) 命 题 人 : Mr.Jin 选 择 题 答 案1 8: BA B C C B D C 9: ACD 10: ABD 11 : BD 12: ABC填 空 题 答 案 :13: 14: 晦 晦 晦。

    17、 或 晦 晦 晦程 或 晦 晦 ,.15: 16: (1). (2). 8解 答 题 答 案 : 17: ( 1) ; ( 2) 18: ( 1) 证 明 : 1 2PP 的 中 点 P 的 横 坐 标 为 12 , 1 2 12 2x x , 1 2 1x x . 1 1 1,P x y , 2 2 2,P x y 是 函 数 ( )y f x 的 图 像 上 的 两 点 , 11 14 2xy , 22 14 2xy . 1 21 2 1 21 2 1 1 4 2 4 24 2 4 2 4 2 4 2x xx x x xy y 1 2 1 21 2 1 2 1 24 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 2 4 4 4x x。

    18、 x xx x xx x x 2 2114 4 4 122 4 4 4x xx x , 点 P 的 纵 坐 标 为 1 2 12 4y y . 点 P 的 纵 坐 标 是 定 值 .( 2) 1 2 3 1 2 3m m mS a a a a f f f fm m m m 1 2 3 1 (1)mf f f f fm m m m .令 1 2 3 1mS f f f fm m m m , 倒 序 得 1 2 3 1m m mS f f f fm m m m , , 得 1 1 2 2 3 3 1 12 m m m mS f f f f f f f fm m m m m m m m . 1( 1,2,3, , 1)k m k k mm。

    19、 m , 由 ( 1) 知 12k m kf fm m . 12 ( 1)2S m , 1 ( 1)4S m .又 1 1(1) 4 2 6f , 1 1 3 1(1) ( 1)4 6 12m mS S f m .19: ( 1) 在 平 面 tR 内 作 t R 于 点 , 因 为 平 面 R 平 面 tR, 平 面 R平 面 tR R,所 以 t 平 面 R, 即 t 为 四 棱 锥 E ABCD 的 高 ,因 为 t 为 半 圆 弧 R 上 一 点 , 所 以 t tR, 所 以 tR 矩 形 R t ttRR ttR,因 为 t 程tR R , tR t程tR , 当 且 仅 当 t tR 时 等 号 成 立 ,所 以 四 。

    20、棱 锥 E ABCD 的 体 积 的 最 大 值 为 ;( 2) 由 条 件 得 : Rt R t Rt t R t Rt,即 Rt t, 所 以 Rt t,又 因 为 Rt 程t , 所 以 Rt , t ,由 条 件 得 : 因 为 R, 平 面 Rt,所 以 t 为 直 线 R 与 BE 所 成 角 , 且 sin 23 CECBE BE t t ,由 条 件 得 : t t tt t ,设 R , 程t程Rt ,若 选 条 件 , 则 Rt , t , 且 t t ,所 以 R ,若 选 条 件 , 则 Rt , t , 且 程t程Rt , 所 以 R ,若 选 条 件 , 则 t t , 且 程t程Rt , Rt 程t ,。

    21、所 以 R ,即 从 任 选 两 个 作 为 条 件 , 都 可 以 得 到 R ,下 面 求 R 与 平 t 所 成 角 的 正 弦 值 :设 点 R 到 平 面 t 的 距 离 为 , R 与 平 面 t 所 成 角 为 ,则 由 Rt tR得 : t t R , 所 以 t,作 于 点 , 连 接 t,则 由 t 平 面 R 知 : 是 t 在 平 面 R 内 的 射 影 , 所 以 t , t t t 程 程 , t , R , t t ,所 以 R 与 平 面 t 所 成 角 的 余 弦 值 为 20:( 1) 设 甲 的 第 i场 比 赛 获 胜 记 为 , 第 i场 比 赛 获 平 记 为 , 第 i场 比 赛 获 输。

    22、 记 为 , 程 程 程 程 h ( 2) 分 类 1: 若 第 三 轮 甲 胜 丁 , 则 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 球 队 积 分 变 为 6、 3、 0、 6,另 一 场 比 赛 乙 胜 丙 , 这 时 甲 、 乙 、 丁 积 6 分 , 丙 积 0 分 , 所 以 要 抽 签 决 定 , 抽 中 前 两 名 的 概 率 为 , 这 时 甲 出 线 的概 率 为 ,另 一 场 比 赛 乙 平 丙 或 乙 输 丙 , 这 时 甲 一 定 出 线 , 甲 出 线 的 概 率 为 分 类 2: 若 第 三 轮 甲 平 丁 , 则 甲 、 乙 、 丙 、 丁 积 分 变 为 4、 3、 0、 7,另 一 场 比 赛 乙 输 。

    23、丙 , 则 甲 、 乙 、 丙 、 丁 积 分 变 为 4、 3、 3、 7, 甲 一 定 出 线 , 甲 出 线 的 概 率 为 另 一 场 比 赛 乙 平 丙 , 则 甲 、 乙 、 丙 、 丁 积 分 变 为 4、 4、 1、 7, 所 以 要 抽 签 决 定 , 抽 中 前 两 名 的 概 率 为 , 这 时 甲 出线 的 概 率 为 ,分 类 3: 若 第 三 轮 甲 输 丁 , 则 甲 、 乙 、 丙 、 丁 积 分 变 为 3、 3、 0、 9,另 一 场 比 赛 乙 输 丙 , 甲 、 乙 、 丙 、 丁 积 分 变 为 3、 3、 3、 9, 甲 出 线 的 概 率 为 甲 出 线 的 概 率 为 程 程 程 程 。

    24、.21( 1) . ,)( Rxaexf ax )( xf 在 R 上 单 调 递 增 .当 ,0)(,0 xfa )(xf 在 , 上 单 调 递 增 ;当 0a 时 , ),ln(0)( aaxxf ;)ln(0)(;)ln(0)( aaxxfaaxxf )(xf 在 )ln(, aa 上 单 调 递 减 ; 在 ),ln( aa 上 单 调 递 增 .3 分( 2) 1ln1)( xxaxexF ax 定 义 域 是 ),1( ;函 数 )(xF 在 定 义 域 上 单 调 递 增 的 充 要 条 件 是 )1( 0)( xxF 恒 成 立 . .4 分法 一 : )1( 01)1ln()( xxaexF ax 恒 成 立 .。

    25、5 分01)0( aeF a 令 ,1)( xext x 则 )(01)( xtext x 在 R 单 调 递 增 ,00)(1,0)0( aataet a .7 分当 0a 时 , 分使存 在 唯 一 的 ;时; 当时当 上 单 调 递 增在记 8.,.011)( )()(1 .),1()(011)( 1),(11)(),()( 000 2 0 xexGx xGxxGx xGxexh xxhxexGxFxG axax ax事 实 上 , 取 aex 111 , aaaxa exeexea 11,01,1100 11 1 0)11()( 1 aeGxG又 (0) 1 0aG e ,0)(,0,11 00 xGex a 使存 在 唯 。

    26、一 的 1ln,110)( 0000 0 xaxxexG ax .9 分;0)()(, ;0)()(,1 0000 xGxGxxxGxGxx 当当 )(xG 在 0,1 x 单 调 递 减 , 在 ,0 x 单 调 递 增 . 0)(0 .0222111222111 1111)1ln( 10.).()()( 0000 000 0minmin0 xFa aaxxaxx axaxxae xGxGxF ax 分综 上 可 知 0a 为 所 求 .12 分法 二 : )1ln()1ln(1)( )1( 01)1ln()( )1ln( xexxaxe xxaexF xax ax max)()1ln()( .)1ln()1(ln()( )(,0。

    27、1)( ,)( xSaxxxSa xaxxTaxT RtTetTtetT tt 恒 成 立上 单 调 递 增在令 0 0)0()( .),0()0,1()( 0)(,0 ;0)(01 )1(1111)( max a SxS xS xSxxSx xx xxxS 上 单 调 递 减上 单 调 递 增 , 在在 时时法 三 :先 证 明 01)( xexh x , 证 明 如 下 :0)()(0)0()( .)(0;)(0 ;0)(0;0)(0;0)(01)( minmin xhxhhxh xhxxhx xhxxhxxhxexh x 单 调 递 增时单 调 递 减时 时时时 .0)1ln()1ln(ln011 xxxexxe xx 即时 。

    28、恒 成 立则若 )1( 022)1ln( 1)1ln(11)1ln()( ,0 xaaxx xaaxxaexF a ax 0111ln)0(1,0 aeaeFea aaa则若 恒 成 立时当 且 仅 当 0)(0 xFa22.详 解 :( 1) 依 条 件 知 , 椭 圆 C的 焦 点 在 x轴 上 , 长 半 轴 为 a, 短 半 轴 为 b, 且 焦 距 42 c .2c , 椭 圆 C的 两 焦 点 分 别 为 )0,2( ),0,2( 21 FF . 椭 圆 C经 过 点 A 分的 方 程 是椭 圆 3.148: ,2,22 .24022202222 22 22 222221 yxC caba AFAFa( 2) 法 一 :。

    29、设 2211 , yxNyxM , 线 段 MN 的 中 点 为 ),( 00 yxP , 则 BPBNBM 2 .4 分 当 直 线 L 不 垂 直 于 x轴 时 , 设 直 线 L 的 斜 率 为 k, 则 直 线 L 方 程 为 )2( xky ,21021012 12 2,2, yyyxxxxx yyk , 0000 12 122121212221222222 2121 204282 048048148 .148 yxkkyx xx yyyyxxyyxxyx yx .6 分又 中 点 ),( 00 yxP 在 直 线 L( 即 MN) 上 , 所 以 )2( 00 xky ,020200000 22)2(2 xxyxyxy 。

    30、.7 分 当 直 线 L 垂 直 于 x轴 时 , L 过 2F , 此 时 )0,2(),2,2(),2,2( PNM 也 满 足 上 式 . 分的 最 小 值 为 有 最 小 值时 ,当 9.2 ,221212002 2 .2122 2)1(2)0()1(22 200002020 20020202020BNBM xxxxxy xxxxyxBPBNBM ( 3) 作 图 方 案 步 骤 如 下 :先 做 两 组 平 行 的 弦 AB/CD, AE/DG; 再 分 别 作 出 四 弦 的 中 点 M, N, P, Q; 再 过 每 组 平 行 弦 中 点 作 直 线 MN,PQ;作 直 线 MN,PQ 的 交 点 O, O 即 为 。

    31、所 求 .如 图 示 .12 分理 由 如 下 ( 不 必 写 出 ) , 设 O 为 对 称 中 心 , 则 OPQMNPQOMNOkkkk abkkabkkabxx yyxx yy b yya xxbyaxbyax ONOMCDAB CDONABOMBA BABA BA BABABBAA 同 理 ,同 理. . 0,1,1 222222 2 222 2222222222 其 他 方 案 只 要 合 理 即 可 .法 二 : 设 2211 , yxNyxM , 线 段 MN 的 中 点 为 ),( 00 yxP 2020221221 2222 yxyyxxBNBM .当 直 线 L 垂 直 于 y 轴 时 , L 即 x 轴 , ),0,22(),0,22( NM 2BNBM 当 直 线 L 垂 直 于 x轴 时 , 此 时 ),2,2(),2,2(,2 NMBFMN 2BNBM .当 。

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