1、(2)最简单的分数，如果分母只包含2和5以外的质因数，那么这个分数的小数一定是纯循环小数。2.如何判断一个分数是否转换成循环小数:一个最简单的分数，如果分母包含2和5以外的质因数，那么这个分数的小数一定是混合循环小数。分母的前几位是9，9的个数与一个循环段的个数相同，后几位是0。0的个数与非循环段的个数相同混合循环小数的小数部分个数:分子是第二个循环段前的小数个数与非循环段前的小数个数之差。循环小数的小数分成数的规律纯循环小数的小数分成数:分子是一个循环段的数的个数，分母是9，9的个数与循环段的位数相同。最后，公式化的方程可以再分一次；2.淘汰人民币；3.写出表达式；4.确定范围；5.确定特征
2、；6.确定答案；技巧总结:a .写表达式的技巧:用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；b、排除技巧:排除大范围的未知；循环小数:1。多元不定方程的求解:根据已知条件确定一个未知数的值，或消去一个未知数，使三元一次方程变成二元一次不定方程，可根据二元一次不定方程求解；涉及的知识点:列方程、数的整数除法、大小比较；解不定方程的步骤:1。方法:观察法、实验法和计数法；不定方程:三元一次方程称为三元一次方程，其解不唯一。因为它的解不唯一，所以又叫二元一阶不定方程问题:利润百分比=(售价-成本)成本100%；售价=成本(1+利润百分比)；成本=售价(1+利润百
3、分比)；商品的定价是根据预期利润确定的；定价=成本(1+预期利润的百分比)；本金:储蓄金额；利率:利息与本金的比率；利息=本金利率期限；含税价格=不含税价格(1+增值税税率)；问题:利润百分比=(售价-成本)成本100%；售价=成本(1+利润百分比)；成本=售价(1+利润百分比)；商品的定价是根据预期利润确定的；定价=成本(1+预期利润的百分比)；本金:储蓄金额；利率:利息与本金的比率；利息=本金利率期限；含税价格=不含税价格(1+增值税税率)；不定方程:一阶不定方程:含有两个未知数的方程，称为二元一阶不定方程。经验总结:在配比过程中，存在这样一种反比关系，即两种混合溶液的重量与其浓度的变化成
4、反比。基本公式:溶液重量=溶质重量+溶剂重量；溶质重量=溶液重量浓度；浓度=溶质/溶液100%=溶质/(溶剂+溶质)100%理论部分练习:试推导溶质、溶液、溶剂的其他公式)溶质与溶剂混合称为溶液)称为溶剂溶液:液体(如盐水、糖水等溶剂:溶解其他物质(如水、汽油等)的物质。)称为溶质溶质:溶于其他物质(如汽油等。)介质的浓度和比重:经验总结:在配比过程中存在这样一种反比关系，要混合的两种溶液的重量与其浓度的变化成反比方法:从角度看，钟面的周长为360，分针每分钟转360/60度，即6度，时针每分钟转360/12X60度，即半分针每小时走60分钟。时针只走5分钟，所以分针走1分钟，时针走1/12分
5、钟。关键问题:确定分针和时针的初始位置；确定分针和时针的距离差；基本方法:除法:将钟面的圆周平均分成60等分，每等分称为一等分，按照trip问题中的思维方法解题；2.不同的手表被视为不同速度的运动物体；3.距离的单位分为帧(表中每周60帧)；4.时间是标准表经过的时间；5.合理利用旅行问题中的比例关系；时钟问题钟面描摹:基本思路:在封闭曲线上描摹三维图形:时钟问题快慢表问题:基本思路:1 圆的面积占外接圆面积的78.5%(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)2梯形对角线相连后，两腰部分的面积相等3。大胆假设(有些点设置在题目中的任意一点，解题时可以在特殊位置设置任意一点)4。利用特殊规则
6、等腰直角三角形，已知任一边即可计算面积。连接两个等底等高三角形的等面积辅助线。2常用方法:1。将不规则图形变为规则图形进行计算；此外，我们还需要掌握和记忆一些常规的区域规则几何:基本思想:在一些区域的计算中，在不能直接使用公式的情况下，一般需要进行剪切、补充、平移、旋转、折叠、分解、变形、重叠等操作。简单归纳推理:根据题目提供的特点和数据，分析已有的规律和方法，从特例扩展到一般情况，进而推导出相关的关系表达式。从而解决问题逻辑计算:在推理过程中，除了条件分析的推理外，还需要进行相应的计算，并根据计算结果为推理提供新的判断和筛选条件。比如A和B之间有两种状态:知道或者不知道，有联系就是了解，而不
7、是说不知道条件分析图解法:当两个对象之间只有两种关系时，可以用连线来表示两个对象之间的关系。连线表示“是，是”等积极状态，断线表示消极状态。表格的行和列代表不同的对象和情况。观察表格中的问题，运用逻辑规则进行判断。列表法就是用一个长方形的表格来表示问题的所有条件。条件分析列表法:当问题的设定条件很多，需要很多假设才能完成时，就需要一个列表来辅助分析，比如A是偶数。如果判断过程有矛盾，那么A一定是奇数。如果与假设条件有矛盾，说明假设条件不成立，则相反条件成立为逻辑:基本方法介绍:条件分析-假设法:假设可能条件之一为真，然后根据这个假设简单判断经验:长时间必须分，长期关键问题:确定工作量、工作时间
8、、工作效率之间的两两对应关系。工程问题:基本公式:总工作量=工作效率，工作时间，工作效率=总工作量，工作时间，工作时间=总工作量，工作效率基本思路:假设总工作量为“1”(独立于总工作量)；假设一个方便的数字是总工作量(一般是他们完成总工作量所用时间的最小公倍数)我们可以简单地用上面三个基本关系来表示工作效率和工作时间法:画线法基本问题:任意两个已知距离(相遇距离和追逐距离)、时间(相遇时间和追逐时间)、速度(速度和与速度差)， 求第三个量桥问题:关键是确定物体移动的距离，参考上面的公式:相遇问题:速度和相遇时间=相遇距离(请另写公式)； 追逐问题:追逐时间=距离差、速度差(写其他公式)；流量问
9、题:下游行程=(船速+水速)下游时间，上游行程=(船速-水速)下游时间和下游速度。距离=速度；距离=时间关键问题:确定运动过程中的位置和方向。综合行程:基本概念:行程问题研究的是物体的运动，它研究的是物体的速度、时间、距离之间的关系。比例分配:将几个数按一定比例分成几份，称为比例分配标度；地图上的距离与实际距离之比称为反比例:若A扩大或缩小若干倍，B也扩大或缩小若干倍(当AB的乘积不变时)，则A与B成反比:若A扩大或缩小若干倍，B也扩大或缩小若干倍(当AB的商不变时)， 则A与B成正比A:b=c:d或比的性质:两个外积等于两个内积(交叉相乘)，Ad=bc比例:两个比例相等的公式称为比例比的性质
10、:比的前一项和后一项同时乘以或除以相同的数(除零外)，比是常数:前一项除后一项的商称为比，比符号前的数称为比符号的前件。 than符号后的数称为than符号后项的平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2比和比:比:两个数的除法也叫二。偶数平方数是偶数4。除数是奇数；反之，5。奇数平方十位数是偶数；否则就不是3。除以4，留0或1；否则就不是2。除以3，留0或1；否则最后一个数字只能是:0，1，4，5，6，9；反之则不然，我们将一个分数单位分解为两个分数之和的公式:完全平方数:完全平方数特征:1分数
11、:1 参考数比较法:确定一个参考数并将每个数与参考数进行比较倒数比较法:用倒数比较大小，然后确定原数的大小大小比较法:一个分数减去另一个分数， 将得到的数与0进行比较倍数比较法:将一个数除以另一个数，将得到的数与1进行比较(具体应用见相同放大倍数的变化规律)换算比较法:将所有分数换算成小数(计算分数的值)，然后进行比较比值比较法:在比较两个分子或分母同时变化时的分数时，除上述方法外， 也可以用同比变化关系比较分数分子分母比较法:分子分母之差不变时，分子或分母越大，分数值越大标准数法:确定一个标准，用它比较所有分数一般分数分母法:使所有分数的分母相同， 并根据分母相同的分子与分子的关系比较分数:
12、基本方法:通用分子法:使分数的所有分子相同， 根据分子分母相同的分数之间的关系进行比较浓度比法:一般适用于总量和成分发生变化的情况等倍放大法:总量和成分按等分数变化规律处理移情法:用一个量代替另一个量，从而简化量的关系，使量和率的关系清晰b、总量变化， 但有的分量不变c、总量和分量发生变化然而，分量之差不变的情况有三种:a .重量变化时，总量不变常数思维法:在变化的量中，总有一个量是不变的，无论其他量如何变化，这个量总是不变假设思维法:为了解决问题的方便，我们可以假设题目中的不相等的量相等或者某一种情况成立，计算出相应的结果，然后进行调整，得到最终的结果。 常见的处理方法有将不同标准下的分数(
13、一般指分数中的双倍金额)转换为相同条件下的分数转换思维法:将一类应用题转换为另一类应用题来求解对应思维法:找出题中具体数量与其所占百分比的直接对应关系常用方法:逆向思维法:从题所提供条件的相反方向(或结果)出发。思维百分比:表示一个数是另一个数的百分数的数单位:单位“1”平均分成几个部分，表示这样一个部分的数分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小不变。除以3、9、11后的余数特征:一个自然数M，n表示M的位数之和，则Mn(mod 9 是自然数M，其中X表示M的奇数位上的数之和，Y表示M的偶数位上的数之和，则MY-X或M11-(X-Y)(mod 11)；5.费马
14、大定理:若P为素数(质数)，A为自然数，A不能被P整除，则ap-11(mod p)分数和百分数的应用:基本概念和性质:分数:将单位“1”平均分成若干部分，并标明这样一个或几个部分的个数；2.同余的性质:自:A. 对称:若ab(mod m)，则ba(mod m)；传递性:若ab(mod m)且bc(mod m)，则ac(mod m)；区别:若ab(mod m)和cd(mod m)，则a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；重数:若a b(mod m)，cd(mod m)，则ACBD(mod m)；幂:若ab(mod m)，则anbn(mod m)；同倍性:若a b(mod m)，
15、整数C，则ACBC(mod MC)；);3.关于幂的初步知识:若A=ab，则MA=Mab=(Ma)b若B=c+d，则MB=Mc+d=McMd IV若m|a-b，则称为A和B关于模M的同余，记为ab(mod m)读作与模B的同余。那么A和B与模M: 1的同余、同余和周期A和B的乘积除以C的余数等于A除以C的余数和B除以C的余数A和B除以C的和等于A除以C加B除以C的和余数及其应用:基本概念:对任意自然数A，B，Q，R，若AB = Q.r和0，余数小于除数如果A和B除以C的余数相同，则c|a-b或C | B-A 3。如果A能被B and B和C整除，那么A也能被C整除。如果A能被B和C整除，那么A
16、也能被B和C的最小公倍数整除。如果A能被B整除.那么A乘以C也能被B整除.如果A和B能被C整除，那么(a+b)和(a-b)也能被C整除. 3 .整除的本质:1 (2)把最后一位数一个个去掉，减去最后一位数的9倍，就能被13整除。7.能被13整除:后三位数与前三位数之差能被11整除奇数之和与偶数之和之差能被11整除6。可以被11整除:最后三位数和前三位数之差可以被11整除(2)把最后一位数一个个去掉，减去最后一位数的2倍。可以被7整除。5.可以被7整除:后三位数与前三位数之差可以被7整除。4.可以被3和9平分。3.能被8125整除:最后三位数组成的数能被8125整除。2.可以被4和25整除:最后
17、两位数组成的数可以被4和25整除。因为符号“”，符号“”；二、整除性的判断方法:1。整除性:如果一个整数A能被一个自然数B整除，则得到一个整数商C。如果没有余数，称为A可被B整除或B可被A整除，记为B | A的基本概念和符号:1。求最小公倍数的基本方法如下:用短除法求最小公倍数；2.素数因子平均因式分解方法的数除法:1 2。两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。两个数的任何公倍数都是它们最小公倍数的倍数。12的倍数是:12，24，36，48.；18的倍数是:18，36，54，72.；那么12和18的常见倍数是:36，72，108.；那么12和18的最小公倍数是36，记为12，
18、18= 36；最小公倍数的性质:1公倍数:几个数的公倍数，称为这些数的公倍数；最小的一个叫做这些数的最小公倍数。3.换相除法:每次除以除数和余数，能被整除的余数就是最大公约数。2.短除法:先求公约数，再乘质因数分解:先分解质因数，再乘同一个因数，比如12的除数是1，2，3，4，6，12；18的除数是:1，2，3，6，9，18；那么12和18的公约数是:1，2，3，6；那么12和18的最大公约数是:6，记为(12，18)= 6；求最大公约数的基本方法:1 4。几个数乘以一个自然数M，乘积的最大公约数等于这些数的最大公约数乘以M 3。几个数的公约数就是这些数的除数，得到的商就是素数的最大公约数的性
19、质:1公约数:最大的一个叫做这些数的除数和最大公约数的倍数:除数和倍数:如果整数A能被B整除，那么A叫做B的倍数，B叫做A的除数因式质因数的标准表达式:N=，其中a1，a2，A3.An是复数N的质因数，a1除数公式:p = (R1+1) (R2+1) (R3+1).(rn+1)素数:如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做素数。任何复数分解质因数的结果是唯一的质因数。通常，与素数相乘的数称为分解素数因子。如果一个素数那么这个素数叫做这个数的素因子之和:一个数除了1和它本身还有其他的约数，叫做素数之和，也叫素数的射线特征:只有一个端点；没有长度的线段定律:总和= 1+2+3+(点数-1)；角
20、度定律= 1+2+3+.+(光线数-1)；数矩形法则:数=长线段数，宽线段数:数矩形法则:数=11+22+33+线序号质数和数:质数:一个数除了1和它本身没有别的除数射线:无限延长线的一端线段有两个端点和一个长度。这两点称为端点线段:直线上任意两点之间的距离。直线的特征:无。无长度直线:直线或空间中的一点向一个方向或相反方向运动所形成的轨迹。基本特点:每一步只能完成任务的一部分。关键问题:确定工作的完成步骤。乘法原理:如果一个任务需要分成n步，有m1种方法做第一步，不管第一步用哪种方法，第二步总有m2种方法.不管前面n-1步用的是哪种方法，第N步总有mn个方法，所以一共是:m1m2.第二种方法
21、有m2种不同的方法.在第n种方法中，有mn种不同的方法，所以总共有m1+ m2.+mn不同的方法来完成这个任务。按照这种方法，总能发现差为0，可以根据二进制展开的特点来写。(2)先求不大于这个数的2的n次方，然后求它们的差。然后，将2的n次方之差小数化为二进制:根据二进制在2满时为1的特性，将这个数除以2，直到商为0。然后自下而上写出余数(2)= An 2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+.+A322+A21+A120注:An不是0就是1 = An。N1 = n(其中n为任意自然数)二进制:用从0到1的两个数表示，每两个都是1；不
22、同的数代表不同的意义，所以234=200+30+4=2102+310+4基本公式:通式:an = a1+(n-1)d；一般项目=第一个项目+(项目编号1)允差；序列公式:sn，=(a1+an)N2；序号=(第一个项目+最后一个项目)项目号2；方程:n =(an+a1)d+1；项数=(最后一项-第一项)允差+1；公差公式:d =(an-a1)(n-1)；容差=(最后一项-第一项)(项数-1)；关键问题:确定已知量和未知量以及使用的公式；二进制及其应用:十进制:用从0到9的十个数表示，每10为1；不同数字上的数字代表不同的含义。十元纸币上的两个代表20元，一百元纸币上的两个代表200元。如果你知道
23、其中的三个，你可以找到第四个。如果你知道其中的三个，你可以找到第四个。求和公式涉及四个量的基本思想:等差数列涉及a1、an、D、N、sn五个量，通式涉及四个量的基本概念:第一项:等差数列的第一个数，一般用a1表示；项:等差数列中所有数的个数，一般用n表示；容差:数列中任意两个相邻数之差，一般用d表示；通项:数列中各数的公式，一般用an表示；数列的和:这个数列中所有数的和一般用Sn表示。这样的列数称为等差数列和:等差数列:在一个列数中，任意两个相邻数的差是确定的每个新定义的运算符号只能用在这个问题中。注意:新操作可能不符合操作规程。特别注意操作顺序的关键点:正确理解定义的操作符号的含义。基本思路
24、:严格按照新定义的运算规则，将已知数代入加减乘除运算，然后按照基本运算流程和规则进行运算，定义新的运算。基本概念:定义一个新的运算符号，包含多种基本(混合)运算实例4.351= 4；0.321=0;2.9999=2;关键问题:构造对象和抽屉，即找出有代表性的对象和抽屉的数量，然后根据鸽笼原理进行操作。鸽子洞原理二:如果你把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么至少有一个抽屉:k=n/m +1个物体:当n不能被m整除时，k=n/m个物体:当n能被m整除时，理解知识点:x代表不超过x的最大整数观察上述四种物品摆放方式，你会发现一个共同的特点:比如总有一个抽屉:如果你把四个物体放在三个抽屉里，即除以
25、4得到的和那么就有以下四种情况:4 = 4+0+04 = 3+1+04 = 2+2+04 = 2+1+1见基本公式鸽笼原理:鸽笼原理1:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么一个抽屉里至少要有两个物体基本数法:按照给定的数。一般选择接近所有数或中间数的数作为参考数；以参考数为标准，求所有给定数与参考数之差；然后把所有的差异加起来；然后计算这些差值的平均值；最后求这个差的平均值和参考数之和，即平均值年不能被4除；年份如果能被100整除，就不能被400整除；平均数:基本公式:平均数=总数，总数=平均数，总数=总数，平均数平均数=基准数+各数与基准数之差之和，基本算法:找出总数和总数，用基本公式
26、计算闰年:一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，那么年份一定被400整除；一年:一年有365天。关键问题:确定周期周期:我们把两次连续发生之间经过的时间称为一个周期的基本公式:成长=(长期多头-空头和空头)(长期空头)；总草量=长期长期生长量；周期性和表的规律性:周期性现象:在事物运动变化的过程中，某些特征有规律地、周期性地出现基本特征:原草量和新草生长速度不变；关键问题:确定两头不变的牛放牧问题:基本思路:假设每头牛以“1”的速度吃草，按照两种不同的吃法计算总草量的差异；然后找出产生这种差异的原因，就可以确定草的生长速度和总量的关键问题:确定对象和组总数的基本公式:总份数=
27、每份(余数+不足数)的两倍差额当有两个余数时；基本公式:总份数=(较大余数-较小余数)每份的两倍差两次都不足时；基本公式:总股数=(较大的不足-较小的不足)每股的两个差异基本特征:对象总数和分组总数不变基本思路:首先比较两个分配方案，分析不同标准引起的结果变化，根据这个关系计算参与分配的总股数，然后根据问题的含义计算对象因分组标准不同而产生的结果。根据它们的关系，我们可以计算出物体的组数或物体的总数盈亏问题:基本概念:一定数量的物体按照一定的标准分组，产生一个结果:它们按照另一个标准分组， 产生另一个结果的基本公式:假设所有鸡都是兔子:鸡数=(总兔脚数-总鸡脚数)(总兔脚数-总鸡脚数)假设所有
28、兔子都是鸡:兔子数=(总鸡脚数-总鸡脚数)(总兔脚数-总鸡脚数)关键问题:求总量与单位量之差的基本思路:假设，即假设某种现象存在(。 所有的差异都是固定的，从而找出差异的原因；根据这两个差异，进行适当的调整，消除差异。在只有一端的封闭曲线上种树的基本公式是:株数=线段数+总距株数=总距株数=总距株数=和差数学公式的数学公式和差倍数问题:和差问题和差倍数问题有已知条件，几个数的和差和几个数的差和倍数，倍数公式的应用范围有两个已知数。倍数公式(和-差)2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数(和+差)2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数和(倍数+1) =小数倍数=大数和-小数=大数差(倍数-1) = 两人年龄的倍数在变化；归一化问题的基本特征:问题中有一个不变的量，一般为“单个量”，题目一般用“以此速度”等词语表达.重点问题:根据题目中的条件确定并计算单个数量；种树问题:基本类型是直线或不闭合曲线种树，两端是直线或不闭合曲线种树，两端不是直线或不闭合曲线种树
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