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    小学奥数几何五大模型.pdf

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    小学奥数几何五大模型.pdf

    小学奥数 几何五大模型 一、五大模型简介 ( 1)等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等 , 面积之比等于底之比 , 如图 1 所示, ABD ACDS S BD CD ; 3、两个三角形底相等 , 面积 之比等于高之比 , 如图 2 所示 , ACD BCDS S AE BF ; 4、在一组平行线之间的等积变形, 如图 3 所示 , ACD BCDSS ;反之,如果 ACD BCDSS ,则 直线 AB CD 。 例、如图, ABC 的面积是 24, D E F、 、 分别是 BC AC AD、 、 的中点,求 DEF 的面积。 解析 根据等积变换知, 11 2 4 1 222 A D C A B CSS , 11 1 2 622A D E A D CSS , 11 6322D E F A D ESS 。 图3图2图1 FE B DC AB C D A D CB A F E D CB A ( 2)鸟头模型 (共角 定理) 1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形; 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等或互补 )两夹边的乘积之比。 如 下图 ABC 中, DE、 分别是 AB AC、 上或 AB AC、 延长线上的点 。 则有 ADE ABC S AD AES AB AC 。 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理 证明 如图 , 连接 BE ,根据等积变换 模型知, AD E AB ES S AD AB 、 AB E C BES S AE C E , 所以 A B E A B C A B E A B E C B ES S S S S A E A C 。 因此 A D E A D E A B E A B C A B E A B C S S S A D A E A D A ES S S A B A C A B A C 。 例、如图 , 在 ABC 中, 点 D 在 BA 的延长线上, 点 E 在 AC 上,且 ABAD 52 , 3 2AE EC , ADE 的面积为 12 平方厘米,求 ABC 的面积。 E D CB AE D CB A E D CB A E D CB A 解析 根据鸟头模型可知 ABC ADE S AB ACS AD AE , 所以 55 1 2 5 023 A B C A D EA B A CSSA D A E (平方厘米)。 ( 3)蝴蝶模型 1、梯形中 的 比例关系 “ 梯形蝴蝶定理 ” 24SS ( 因为 ABC DBCSS , 所以 AB C O BC D BC O BCS S S S ) , 2213S S a b ; 221 2 3 4 S S S S a b ab ab; 梯形 S 的对应份数为 2ab 。 例、如图, 在 梯形 ABCD 中 , AB CD ,对角线 AC BD、 交于点 O ,已知 AOB BOC 、 的面积分别为 25 平方厘米、 35 平方厘米,求梯形 ABCD 的面 积。 解析由梯形蝴蝶模型的性质知, 2 2 5 3 5A O B B O CS S A B A B C D , 所以 57AB CD ;所以 2 2 2 2 5 7 2 5 4 9A O B D O CS S A B C D , 即 49DOCS 平方厘米, 而 35AOD BOCSS 平方厘米, 所以梯形 ABCD 的 面积为 25353549144 平方厘米 。 b a S 4 S 3 S 2 S 1 O D CB A 35 25 O D CB A 2、 任意四边形中的比例关系 “ 蝴蝶定理 ” 1 2 4 3S S S S 或者 1 3 2 4S S S S ; 12 34 SSAOCO S S , 23 14 SSBODO S S 。 例、如图,四边形 ABCD 的对角线 AC BD、 交于点 O ,如果 ABD 的面积等于 BCD 面积的 13 ,且 2AO , 3DO ,求 CO 的长度是 DO 长度的几倍。 解析由任意四边形蝴蝶定理的性质知, 1 3AB D BCDAO C O S S ,所以 3 3 2 6CO AO ,所以 6 3 2 1CO DO ,即 CO 是 DO 的 2 倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构造模 型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一 方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 ( 4)相似模型 1、相似三角形形状相同 、 大小不相等的两个三角形相似; 2、寻找相似模型的大前提是平行线平行于三角形一边的直线和其他两边或两 边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质 相似三角形的一切对应线段 对应高、对应边)的比等于相似比; 相似三角形周长的比等于相似比; 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 S 4 S 3 S 2 S 1 O CB D A O CB DA 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类,注意这两大类中都含有 DE BC 。 一 金字塔模型 二 沙漏模型 结论 因为 DE BC ,所以 ADE ABC , 则 AD AE DEAB AC BC; 22AD E ABCS S AD AB 。 例、如图,已知在平行四边形 ABCD 中, 16AB 、 10AD 、 4BE ,那么 FC 的长度是多少 解析 根据平行四边形的 性质知, AB CD ,所以 由 沙漏模型 知 1 6 4 4 1F C F B C D B E ,所以 44 1 0 84 1 5F C B C 。 ( 5)燕尾模型 由于 两种颜色 阴影部分的形状 合在一起 像一只燕子的尾巴,所以在数学上把这 样的几何图形叫做燕尾模型 ,看一下它都有哪些性质 AB O ACOS S BD DC ; AB O BCOS S AE EC ; ED CB A E D CB A F E D C BA O F E D CB A ACO BCOS S AF FB 。 例、如图, DE、 分别在 BC AC、 上,且 23AE EC , 1 2BD DC , AD 与 BE 交于点 F ,四边形 DFEC 的面积等于 22 平方厘米,求三角形 ABC 的面积。 解析 如图所示,连接 CF 构造燕尾模型 。 根据燕尾模型 性质可知 12ABF ACF S BDS DC , 2 3ABFCBFS AES EC 。 现设 1BDFS 份 , 则 2CDFS 份 、 4ACFS 份 、 24 1 .623 AEFS 份 、 34 2 .423CEFS 份 。 所以 2 2 .4 4 .4D FECS 四 边 形 份 、 2 3 4 9ABCS 份 。 2 2 4 .4 9 4 5ABCS (平方厘米)。 二、五大模型经典例题详解 ( 1)等积变换模型 例 1、图中的 E F G、 、 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点,如果正方形的 边长是 12,那么阴影部分的面积是多少 F E D CB A 2 1.6 2.4 21 F E D CB A G F E D CB A 6 5 4 3 2 1 G F E D CB A 解析 把另外三个三等分点标出之后,正方形的 3条边 AB BC CD、 、 就被分成 了相等的三段。把点 H 和这些分点、正方形的顶点连接,这样就把整个正方形 分割成了 9个形状各不相同的三角形,同时我们把空白部分的 6个三角形按顺 时针标记 1 6。这 9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一;阴影部分被 分割成了其中的 3个三角形。 根据等积变换模型 可知, CD 边上的阴影三角形的面积与第 1、 2个三角形相 等; BC 边上的阴影三角形与第 3、 4个三角形相等; AB 边上的阴影三角形与 第 5、 6个三角形 相等。因此,阴影面积是空白面积的二分之一,是正方形面积 的三分之一,即 12 12 348。 例 2、如图所示, Q E P M、 、 、 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB CD、 上的点, 且 DQ CP ME、 、 彼此平行,已知 5 7 5 3A D B C A E E B 、 、 、, 求阴影部 分三角形 PQM 的面积。 解析 如图所示, 连接 CE DE、 , 由于 DQ ME、 平行 , 根据同底等高知 , QME DMESS ; 同理根据 BC ME、 平行 , 有 PME CMESS ; 所以 PQM CDESS 。 由于四边形 ABCD 为直角梯形 , 所以 1 1 15 7 5 3 5 5 3 7 2 52 2 2 C D E A D E B C EA B C DS S S S 梯 形 , 即阴影三角形 PQM 的面积为 25。 ( 2)鸟头(共角)定理模型 例 1、如图所示,平行四边形 ABCD , BE AB 、 2CF CB 、 3GD DC 、 4HA AD ,平行四边形 ABCD 的面积为 2,求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比。 P Q M E D CB A A B C D E M Q P 解析 如图所示,连接 AC BD、 ,由于在 ABC EBF 、 中, ABC 与 EBF 互补,根据 鸟头定理 有 1 1 1 1 3 3ABCEBFS A B B CS B E B F ; 因为 1 12 ABC A B C DSS 平 行 四 边 形 ,所以 3EBFS ; 同理可得 4 2 8AEHS 、 4 2 8GCFS 、 5 3 15DHGS 。 所以 2 2 1 8 8 1 5 3 2 3 6 1 8A B C DEBFS S 平 行 四 边 形四 边 形 。 例 2、如图所示 , ABC 的面积为 1, 54B C B D A C E C D G G S S E 、 、 、 AF FG ,求 FGS 的面积。 解析 首先根据 等积变换模型 知, FG S FE S EA F EG FS S S S 、 , 所以 4AGE FGSSS 。 根据 鸟头模型 有 32 2 13A G EC D ES A E G ES C E D E ,所以 2CDE FGSSS ; 21 211A G D F G S S A G D GS F G SG ,所以 2AGD FGSSS ;所以 8ACD FGSSS ; C H F E D G BA C H F E D G BA SG F E D CB A 1 1 11 4 4A D B A C D S A D B DS A D D C ,所以 2ADB FGSSS ;所以 10ABC FGSSS , 即 110 FGSS 。 ( 3)蝴蝶模型 例 1、如图,正六边形面积为 1,那么阴影部分面积为多少 解析 如图所示,连接阴影四边形的对角线,此时正六边形被平分 成两半。设 AOBS 的面积为 1份,根据正六边形的特殊性质知, 2BC AD ,再根据 梯形蝴 蝶定理 ,标出各个三角形所占份数,所以整个正六边形被分成了 18 份,阴影部 分占其中的 8份,即阴影部分面积为 84118 9 。 例 2、如图,长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块,已知其中 3 块的面积分别为 2、 5、 8 平方厘米,求余下的四边形 OFBC 的面积。 解析 如图所示,连接 DE CF、 。在梯形 EDCF 中,根据 梯形蝴蝶定理 知, EOD FOCSS , 2 8 1 6E O D F O C E O F D O CS S S S , 即 4EOD FOCSS ,所以 8 4 12EC DS , 1 2 2 2 4ABCDS 长 方 形 , 2 4 5 2 8 9O F B CS 四 边 形 。 1 2 2 4 4 2 2 O D C BA 2 8 5 O FE D C BA 2 8 5 O FE D C BA 例 3、如图,已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米, E 为 AD 的中点, F 为 CE 的中点, G 为 BF 的中点,求三角形 BDG 的面积。 解析 设 BD 与 CE 的交点为 O ,连接 BE DF、 。在梯形 BCDE 中,由 梯形蝴蝶 定理 知, BED BCDEO CO S S ,而 1142 B E D B C DA B C D A B C DS S S S 正 方 形 正 方 形、 , 所以 1 2EO CO 。又因为 F 为 CE 的中点,所以 21EO FO 。 在四边形 BFDE 中,由 蝴蝶定理 知, 2 1BE D BF DEO FO S S , 所以 1148 B F D B E D A B C DS S S 正 方 形 。 所以 1 1 1 1 0 1 0 6 . 2 52 1 6 1 6 B D G B F D A B C DS S S 正 方 形 (平方厘米)。 ( 4)相似模型 例 1、如图,正方形的面积为 1, EF、 分别为 AB BD、 的中点, 13GC FC ,求 阴影部分的面积。 解析 如图所示,作 FH 垂直 BC 于点 H , GI 垂直 BC 于点 I ,根据 金字塔模 型 知, 1 3CI CH CG CF;因为 F 是 BD 的中点,所以 CH BH , 16CI CB ,即 6 1 6 5 6BI BC ,所以 1 1 5 52 2 6 2 4BEGS 。 G F E D CB A G O F E D CB A G F E D CB A I G H F E D CB A 例 2、如图,长方形 ABCD , E 为 AD 的中点, AF 与 BD BE、 分别交于 G 和 H , OE 垂直于 AD ,交 AD 于 E 点,交 AF 于 O 点,已知 5AH , 3HF ,求 AG 的长。 解析 根据长方形的性质知, AB DF , 再根据 沙漏模型 知 5 3AB D F AH H F, 又因为 E 为 AD 的中点,所以 1 2OE FD ,所以 3 5 1 0 32AB OE 。 利用 相似三角形性质 可得 1 0 3AG D O AB O E, 11 5 3 422A O A F , 10 404 13 13AG 。 ( 5)燕尾模型 例 1、如图,正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米, E 是 AB 的中点, F 是 BC 的中点,求四边形 BGHF 的面积。 解析 如图,连接 BH 。由于 BE 与 CD 平行, 根据 沙漏模型 知, 1 2BG G D BE CD。 现设 1BHCS 份,根据 燕尾模型 知, 2DHCS 份, 2BHDS 份。 因此整个正方形 ABCD 就是( 122) 210(份)。 四边形 BGHF 占 1 1 7122 3 6 (份)。 所以 71 2 0 1 0 1 46 B G H FS 四 边 形 (平方厘米)。 O G H F E D CB A B C D E F G H A B C D E F G H A 例 2、如图,在 ABC 中, 2BD DA 、 2CE EB 、 2AF FC ,那么 ABC 的面积是阴影 GHI 面积的几倍 解析 连接 AI ,根据 燕尾模型 知, 1 2B CI A B IS S F C A F , 2 1B CI A CIS S B D D A ,所以 1 2 4ACI BCI AB ISSS ,那么 221 2 4 7B C I A B C A B CS S S 。 同理可知 2ACG ABCSS 、 27ABH ABCSS 。 所以 2113 77A B C A B CGHIS S S 阴 影 ,即 ABC 的面积是阴影 GHI 面积 的 7倍。 例 3、如图,在 ABC 中,点 D 是 AC 的中点,点 EF、 是 BC 的三等分点,若 ABC 的面积是 1,求四边形 CDMF 的面积。 解析 如图,连接 CM CN、 。根据 燕尾模型 知, 2 1A B M A CMS S BF CF , 而 2ACM ADMSS ,所以 24A B M A CM A D MS S S ,即 4BM DM 。 所以根据 鸟头模型 知, 4 2 8 5 3 1 5B M FB C DS B M B FS B D B C , 即 8 8 1 41 5 1 5 2 1 5 B M F B C DSS 。所以 1 4 72 1 5 3 0 B C D B M FC D M FS S S 四 边 形 。 IH G F E D CB A IH G F E D CB A M N FE D CB A M N FE D CB A 三、巩固练习 1、如图,在 MON 的两边上分别有 A C E、 、 , B D F、 、 六个点 , 并 OAB 、 ABC 、 BCD 、 CDE 、 DEF 的面积都等于 1,求 DCF 的面 积。 2、如下图, ABCD 为平行四边形, EF 平行 AC ,如果 ADE 的面积为 4 平方 厘米,求三角形 CDF 的面积。 3、如下图,在三角形 ABC 中 , 2BD AD , 2AG CG , BE EF FC, 求四 边形 DGFE 的面积占三角形 ABC 的几分之几 O M N F E D C B A F E D C BA G FE D CB A 4、如图,四边形 EFGH 的面积是 66 平方米, EA AB 、 CB BF 、 DC CG 、 HD DA ,求四边形 ABCD 的面积。 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中, 2BE EC 、 FC DF ,求三角形 AGE 的面 积。 6、如图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形 ADG 的面积 为 11,三角形 BCH 的面积为 23,求四边形 EGFH 的面积。 H A D B E F C G A D B E F C G H D A E B C G F 7、如图,三角形 ABC 是一块锐角三角形余料, 120BC 毫米,高 80AD 毫 米。现在要把它加工成一个正方形零件,是正方形的一边在 BC 上,其余两个 顶点分别在 AB AC、 上,这个正方形零件的边长是多少 8、如图,已知正方形 ABCD 的面积为 120 平方厘米, E 是 AB 边的中点, F 是 BC 边的中点,求四边形 BGHF 的面积。 9、如图,正方形 ABCD 的边长是 12 厘米, EF、 分别是 AB BC、 的中点, AF 与 CE 交于点 G ,求四边形 AGCD 的面积。 N A DB H P CG H A D B E F C G A D BE F C G 10、如图,在四边形 ABCD 中, 3AB BE 、 3AD AF ,四边形 AEOF 的面积 是 12,求平行四边形 BODC 的面积。 四 、巩固练习 详解 1、如图,在 MON 的两边上分别有 A C E、 、 , B D F、 、 六个点 , 并且 OAB 、 ABC 、 BCD 、 CDE 、 DEF 的面积都等于 1,求 DCF 的面 积。 解析 这道题我们可以用等积变换来解,由于三角形 OCD 的面积是可以求出 的,所以只要求出 ODOF 就能求出 DCF 的面积。 因为 4 1O ED D EFOD OF S S ,所以 1 1 334 4 4 D C F O C DSS 。 2、如下图, ABCD 为平行四边形, EF 平行 AC ,如果 ADE 的面积为 4 平方 厘米,求三角形 CDF 的面积。 O A D CB E F O M N F E D C B A F E D C BA F E D C BA 解析 如图所示,连接 AF CE、 , 因为平行四边形对边平行 , 所以根据同底等 高知 , ADE ACESS 、 CDF ACFSS 。 同理 , 根据 EF AC , 所以 ACE ACFSS 。 所以 4CD F ADESS 平方厘米 。 3、如下图,在三角形 ABC 中 , 2BD AD , 2AG CG , BE EF FC, 求四 边形 DGFE 的面积占三角形 ABC 的几分之几 解析 根据 鸟头模型的性质有 1 2 23 3 9 A D G A B C A B C A B CA D A GS S S SA B A C , 同理 29 BDE ABCSS , 19 CGF ABCSS , 所以 2 2 1 41 9 9 9 9A B C A B CD G F ES S S 四 边 形 。 4、如图,四边形 EFGH 的面积是 66 平方米, EA AB 、 CB BF 、 DC CG 、 HD DA ,求四边形 ABCD 的面积。 解析 如图连接 BD , 由鸟头模型知 1 1 1 1 2 2B C DF C GS C D B CS C G C F , 即 2FCG BCDSS ; 同理可得 2AHE ABDSS ; 所以 2F C G A H E A B C DS S S 四 边 形。 连接 AC 同理可得 , 2B E F D H G A B C DS S S 四 边 形; 所以 5EFGH ABCDSS四 边 形 四 边 形, G FE D CB A H A D B E F C G H A D B E F C G 即 6 6 5 1 3 .2ABCDS 四 边 形 (平方米)。 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中, 2BE EC 、 FC DF ,求三角形 AGE 的面 积。 解析 连接 EF , 2BE EC 、 FC DF , 1 1 1 1 2 3 2 1 2D E F A B C D A B C DS S S 正 方 形 正 方 形 , 12 ADE ABCDSS 正 方 形 , 由蝴蝶定理 可得 11 6 12 1 2AG GF , 6 6 1 36 7 7 4 1 4 A G D G D F A D F A B C D A B C DS S S S S 正 方 形 正 方 形 , 1 3 2 22 1 4 7 7 A G E A D E A G D A B C D A B C D A B C DS S S S S S 正 方 形 正 方 形 正 方 形 。 6、如图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形 ADG 的面积 为 11,三角形 BCH 的面积为 23,求四边形 EGFH 的面积。 解析 连接 EF , 显然四边形 ADEF 和 BCEF 都是梯形 , 于是根据蝴蝶定理 得 EFG ADGSS , EFH BCHSS , 所以 1 1 2 3 3 4EG FHS 四 边 形 。 A D B E F C G A D B E F C G H D A E B C G F H D A E B C G F 7、如图,三角形 ABC 是一块锐角三角形余料, 120BC 毫米,高 80AD 毫 米。现在要把它加工成一个正方形零件,是正方形的一边在 BC 上,其余两个 顶点分别在 AB AC、 上,这个正方形零件的边长是多少 解析 仔细观察我们会发现,图中有五个金字塔模型,我们利用与已知边有关 系的两个金字塔模型,知 PN APBC AB 、 PH BPAD AB 。 现设正方形的边长为 x 毫 米 , 根据题意列方程 1PN PH AP BPBC AD AB AB , 即 1120 80 xx, 解得 48x , 即正方形的边长为 48毫米。 8、如图,已知正方形 ABCD 的面积为 120 平方厘米, E 是 AB 边的中点, F 是 BC 边的中点,求四边形 BGHF 的面积。 解析 由于四边形 BGHF 不能直接求面积,所以我们只能直接求,可以通过 B C E B E G C H FB G H FS S S S 四 边 形 求得。 根据沙漏模型知, 1 2EG G C BE CD,所以 13 BEG BCESS 。现将 AB DF、 延长交于点 M ,其中 BM AB 。由沙漏模型可得, 1 1B M D C M F F D B F F C ,而根据金字塔模型知, 1 3 22E H H C E M C D A B A B C D ,即 25H CE 。 N A DB H P CG H A D B E F C G M H A D B E F C G 而 12CF BC ,所以 1 2 12 5 5 C H F B C E B C ES S S , 11 3022 B C ES A B B C 。 所以 1 1 7 3 0 1 43 5 1 5 B C E B C E B C EB G H FS S S S 四 边 形 (平方厘米)。 注 本题也可以根据蝴蝶定理来做 , 连接 EF , 确定 FH HD , 同样也能求 解 9、如图,正方形 ABCD 的边长是 12 厘米, EF、 分别是 AB BC、 的中点, AF 与 CE 交于点 G ,求四边形 AGCD 的面积。 解析 如图,连接 AC BG、 , 设 1AGCS 份 。 根据燕尾模型知 , 1 1AG B AG CS S BF C F , 1 1AG C BG CS S AE BE , 即 1AGBS 份 , 1BGCS 份。因此整个正方形 ABCD 就是 1 1 1 2 6 份 , 四边形 AGCD 占 3 1 4 份 。所以 21 2 6 4 9 6A G C DS 四 边 形 (平方厘米)。 10、如图,在四边形 ABCD 中, 3AB BE 、 3AD AF ,四边形 AEOF 的面积 是 12,求平行四边形 BODC 的面积。 解析 如图,连接 AO BD、 。 根据燕尾模型知 , 1 2AB O BD OS S AF DF , 2 1AD O BD OS S AE BE ,设 1BEOS 份 , 我们可以将各个三角形所占份数 标记出来 , 如图所示 , 所以 2 2 1 2 2 4B O D C A E O FSS 平 行 四 边 形 四 边 形。 A D BE F C G A D BE F C G O A D CB E F 8 6 6 4 2 1 O A D CB E F

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