1、o迪拜国际机场E F 8 6 6 4 2 1 O A迪拜国际机场E F解析:如图，连接AO BD，根据燕尾模型:1: 2ab o BD OS AF DF delta，2: 1ad o BD OS AE be delta，使用1beos delta零件，我们可以标记每个三角形的零件，如图，所以22122bo d c a e o FSS是四边形求平行四边形bo d c的面积。因此，21 2 6 4 9 6ag c ds四边形(平方厘米)10。如图，在四边形ABCD，3ABBE中，3DAF和四边形AEOF的面积是12，所以整个正方形ABCD是11126，四边形AGCD占314。根据燕尾模型，已知为:
2、1: 1 AGB cs s BF c f delta，:1: 1agbcs s AE be delta，即1agbs delta和1bgcs delta分析:如图，连接AC BG，设置1个AGCS delta副本连接EF确认:FH HD也可以解。9.如图，正方形ABCD的边长为12cm，EF和CE分别为AB BC和的中点，AF和CE相交于g点，求四边形AGCD A db h p CG h a d b e f c g m h a d b e f c g和12CF BC的面积。所以1 212 5 C H f B C E B C es S，11 3022 b c es a b c因此，1 7 3 0
3、 1 4 3 5 1 5 B C E B E B E B E E C E B E B E B E B G H FS S四边形(平方厘米)注:这个问题也可以根据蝴蝶定理来做。根据沙漏模型，已知:1:2 EGG G C是CD，因此，13bg是ss delta delta现在AB DF和延拓都给到点m，bmab在这里。根据沙漏模型我们可以得到:1: 1bm c m f d b f c，根据金字塔模型我们知道1: 3: 22eh c e m c d a b c d是25hce分析:既然四边形BGHF不能直接计算面积，我们只能直接计算，通过B C E E G H FB G H FS S四边形可以得到8。
4、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，e为AB边的中点。f为BC边的中点，计算四边形BGHF的面积。根据题目的方程:1pn PH AP BPBC AD AB，即1120 80xx，则解为48x，即正方形的边长为48mm。现在，设正方形的边长为X mm，我们使用与已知边关系相关的两个金字塔模型，即PNAPBC AB和PHB PAAB。这个正方形部分的边长是多少？解析:仔细观察，你会发现有五个金字塔模型正方形，一边在BC上，另外两个顶点分别在AB AC和ABAC上。现在，我们要把它处理成一个正方形分析:连接EF，很明显，四边形ADEF和BCEF是梯形。所以根据蝴蝶定理:E FG ADGS
5、SEFH BCHSSo 1 1 2 3 4 EGFHS四边形A B E F C G A D B E C E E E C G G F 7如图所示，三角形ABC为锐角三角形边角料，公元前120，面积80AD mm高四边形EGFH已知三角形ADG为1 1，三角形BCH为2 3:连接EF，2beec，fc df 111123212 DEF ABCD ABCD DS square，12 ade abcdss square，根据蝴蝶定理我们可以得到:11: 6: 12 1 2agggf，66 1 36 7 4 14g d g d g d g d g d g d d d a f a f a f a b c
6、c d ssquare，1 3 2 1 6 如图，一个长方形被一些直线分割成几个2abcds的小四边形(平方米)。5.在边长为1，2bec和fcdf的正方形ABCD中，得到三角形年龄的面积积分析:如图，连接BD，从鸟头模型可知11122bc DF C GS C CS C G F delta delta，即2fcg BCD SS delta delta同样可以得到2ahe Abdss delta delta因此，2fc g a h e a b c ds delta四边形与AC，2befd h g a b c ds delta四边形的连接方式相同；因此，5EFGH ABCDSS四边形，G FE D
7、 CB A H A D B E F C G H A D B E F C G is 66513 O A D CB E F O M N F E E C E E C B E E F E D C BA解析:如图，连接AF CE，因为平行四边形的对边是平行的，根据同底的谐音，Adeace Delta Delta Delta，CDFACFS Delta同理，根据EFA，ACEACFSS Delta Delta，4CD F Adess Delta Delta，如下图所示，在三角形ABC，2bad，2AG CG，beefcc中，四边形DGFE的面积占三角形ABC的百分之几？解析:按照鸟头模型的性质，有:1 2
8、23 39 A D G A B C A B C A B A C A D G S S B A C，同理:29 BDE ABCSS，19 CGF ABCSS，So 22 1 41 9 9 9 9 A B C ABCD G F ES S四边形4 .如图，四边形EFGH的面积为66平方米，计算四边形ABCD的面积为EAAB，CB BF，DC CG，HD DA因为:4: 1 O ed d e fod s 因此，如下图所示，ABCD为平行四边形，EF平行于AC，若ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。因为可以求出三角形OCD的面积，所以可以通过求:ODOF求出DCF delta的面积。如图，MO
9、N两边有A C E，B D F。B F，OAB，ABC，BCD，CDE，DEF这六个点的面积都等于1，得到DCF的面积积分析:我们可以通过等面积变换来解决这个问题。四。巩固练习，详细讲解1 A DB H P CG H A D B E F C G A D Be F C G 10如图所示，在四边形ABCD，3abb，3中3adaf和四边形AEOF的面积为12，求平行四边形BODC的面积。9.如图，正方形ABCD的边长是12cm，EF和CE分别是AB BC和的中点，AF和CE相交于g点，求四边形AGCD的面积。这个正方形部分的边长是多少？8.如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，e为AB边
10、的中点，f为BC边的中点。求四边形BGHF的面积。正方形的一边在BC上，另外两个顶点分别在AB AC和ABAC上。我们要把它处理成一个正方形A D B E F C G A D B E F C G H D E B C G G F 7。如图，三角形ABC为锐角三角形边角料，四边形EGFH的面积为BC 120mm和and 80AD已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23 6。如图，一个长方形被一些直线分割成几个小块。5.在边长为1，2bec和fcdf的正方形ABCD中，计算三角形年龄的面积积。3.如下图所示，在三角形ABC、2bad、2AG CG和beefcc中，四边形DGFE的面积占
11、三角形ABC的百分之几？M F E D C B A F E D C B G Fe D B A 4如图，四边形EFGH的面积为66平方米，EA AB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形ABCD的面积如图，有A C E，B D F，OAB，ABC，BCD，CDE，DEF的面积等于1，求DCF 2。如下图所示，ABCD为平行四边形，EF平行于AC，若ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。1 530 b c d b m fc d m fs s 四边形ihg f e d CB a ihg e d CB a m n Fe d CB a m n Fe d CB a m n Fe d CB
12、 a iii巩固练习1所以根据鸟头模型我们可以知道4285315bm FB c ds Mbfs b d c即8814151515bm FB c DSS分析:如图所示， 连接CM CN，根据燕尾模型可以知道:2: 1ab m a cmsff delta delta，而2acmadmss delta，所以24a b m a cm a d ms s delta，即4bmdm，如果ABC delta的面积为1，求四边形CDMF的面积，所以2113 77ab c a b cghis s delta delta delta delta delta shadow delta，即ABC delta的面积是sh
13、adow GHI的7倍 delta 3 如图，在ABC delta中，D点是AC的中点。EF点是BC的三等分点。根据燕尾模型可以知道:1.2 BCI A B是s f c a f，:2:1 BCI a cis b d a，所以:1:2:4 ACI b I ab ISSS，那么221 247 BC I a b c a b cs s同理可以知道2acgabcss。27abhabcss如图所示，在ABC delta，2bdda，2ceeb，2AF FC中，ABC delta的面积是Shadowghi delta的多少倍？解析:连接AI因此，整个正方形ABCD为:(1+2+2) 2=10(部分)四边形B
14、GHF: 1 1 7122 3 6(部分)，所以71 2 0 1 0 1 46磅四边形(平方厘米)例2目前有一个BHCS三角部分。根据燕尾模型，有两个bhcs三角形部分和两个bhds三角形部分。因为BE平行于CD，根据沙漏模型，:1: 2bg g d be CD解法:如图连接BH求四边形BGHF的面积。如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，e是AB的中点，f是BC的中点(5)燕尾模型例1根据相似三角形的性质，我们可以得到:10: 3ag d o ab o e，11 = 53 422 a o a f， 10 404 13 13ag分析:根据矩形的性质，我们知道AB DF，那么根据沙漏模型:
15、5: 3ab d f ah h f，又因为e是AD的中点，所以是3:5:10:32ab OE G E D CB AG O F E D CB A G E D CB A I G H F E D CB A例2如图，矩形ABCD，E是AD，AF，BD BE的中点，分别与G，H相交，OE与AD垂直，与AD在E点相交，与AF在O点相交，称为5AH，3HF 求AG的长度分析:如图，设FH为H点垂直BC，GI为I点垂直BC，根据金字塔图案，:1:3 cichcgcf； 因为f是BD的中点，CHBH，:1: 6CICB，也就是，:61: 65: 6BIBC，is 11 552 26 24求三角图，正方形的面积是
16、1，e f，分别是AB BD，13gcfc的中点。因此，计算阴影部分的面积。1110106.252 1616 B D G B F D A B C DS S平方(平方厘米)(4)四边形BFDE中相似模型的例子1由蝴蝶定理可知:2:1 be D BFDEofo S因此，1148 B F D B e D A B C DS S是正方形且由于F是CE的中点，故为2: 1 eofo解析:设B D与CE的交点为O，连线为DF在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理可知:bedbcdeo co sdelta，而1142 b e d b c d a b c ds sdelta是正方形，所以:1: 2eoco计算三角形B
17、DG的面积如图。已知正方形ABCD的边长为10 cm，e为AD的中点，f为CE的中点，g为BF的中点。解析:如图，连接DE CF，在梯形EDCF中，根据梯形蝴蝶定理，4EOD Foces ，2816 EOD FOC E O F O C S，即4EOD Foces ，所以84 12EC DS，1 2224 abcds矩形，2 452 89 o f b cs四边形1 224 2 O D C Ba 2？8 5 O FE D C BA 2？例如，已知剩余四边形的面积分别为2、5和8平方厘米。2.如图，矩形ABCD被CE和DF分成四块，AOBS的面积为1份。根据正六边形的特殊性质，2bcad，然后根据梯
18、形蝴蝶定理标记每个三角形的编号，于是整个正六边形被分成18份，阴影部分占8份，即阴影部分的面积为84118。解析:如图，连接阴影四边形的对角线，正六边形被分成两半。P Q M E B A B C E M Q P分析:如图，连接AC BD，ABC和EBF在ABC EBF中相辅相成根据鸟头定理，有11113 ABCE BFS A B CS B E B F ;；因为1 12 ABC A B C DSS是平行四边形，所以也可以用3E BFS:428 AEHS，428 GCFS ，53 15 DHGS 。所以2218815323618ab c de bfs平行四边形2。如图所示，ABC的面积为1，4bc
19、b d a c c d g s e，affg，FGS的面积delta可以解析出来:首先根据等面积变换模型，我们知道FG s Fe s ea f egfs s delta delta，so 4 age FGSSS根据鸟头模型，有32，213G EC D e e e e e e e e e，so 2C de fgss S1 211 A G D F G G G G S A G D G G G F G G G SG，so 2 AGD FG8 ACD FGS SSC F E D G BA C H F E D G BA SG F E D CB A 1 111 4 A D C D D D D D C，so
20、2 ADB FGSSS so 10 ABC FGSSS，即110 FGSSS的例1(3)蝴蝶模型如图所示，平行四边形ABCD、Beab、2FCB、3GDDC、4HAAD的面积为2、 并计算出平行四边形ABCD和四边形EFGH的面积比分析:如图，连接CE DE和，因为DQ ME，平行，根据相同背景等等，QME D MESS 根据BC ME和平行的相同原理，有PME cmess因此 pqm CD ess是11 15 75 35 37 252 2C D A D E B E B C D S 的梯形，即阴影三角形pqm的面积是25 (2)鸟头(余角)定理1的模型例子。 2.如图，Q E P M，是AB
21、CD上的点，直角梯形ABCD的两边，DQ CP ME，相互平行，已知5753A D B C A E B，计算阴影三角形PQM的面积，所以阴影面积是空白面积的一半，正方形面积的三分之一。AB边上的阴影三角形等于第5个和第6个三角形。根据等面积变换模型，边CD上阴影三角形的面积等于第一个和第二个三角形的面积。这九个三角形的底边是正方形边长的三分之一。阴影部分被分成三个三角形来连接H点和这些点以及正方形的顶点，这样整个正方形被分成九个不同形状的三角形。同时我们在空白部分从1到6顺时针标记六个三角形。如果正方形的边长是12，阴影部分的面积是多少？E CB A 2 1.6 2.4 21 F E D CB
22、 A G F E D CB A 6 54 3 21g F E D CB A解析:在标出另外三个三等分点后，正方形AB BC CD，的三条边被分成三条相等的线段。比如图中，是正方形ABCD的三条边的三个等份点。所以22.4 4.4dfecs四边形部分、23.49abcs三角形部分24.49.45 ABCS三角洲(平方厘米)两个或五个主要模型的经典例子详解(1)等面积变换模型的例子1如果目前设置一个BDFS三角洲部分，那么两个CDFS三角洲部分、四个acfs三角洲部分和241.623 AEFS三角洲部分、32.423 cefs三角洲部分根据燕尾模型的性质，我们可以知道:12 ABFACFS BDS
23、 23abfcffs AES EC delta delta分析:如图，连接CF构建燕尾模型计算三角形面积ABC (1)金字塔模型(2)沙漏模型结论:因德BC，Ade ABC delta,则AD AE DEAB AC BC； 22:AD E ABCS AD AB例如如图，在平行四边形ABCD中，已知16AB，10AD，4BE，那么FC的长度是多少？解析:根据平行四边形的性质，我们知道AB CD，所以我们知道:1 6: 4: 1 f c b c d b e来自沙漏模型，所以44 1 0 84 1 5 f c b c (5)燕尾模型因为两种颜色的阴影部分的形状像燕子的尾巴。这种几何图形数学上称为燕尾
24、模型，其性质如下: ABO acos BD。:AB O BCOS S AE EC；ed CB A E D CB A F E C Ba O F E D CB A:ACO BCOS S AF FB例如如图所示，DE在BC AC上，而:2: 3AEEC，:1: 2BD DC，AD和BE相交于F点，四边形DFEC的面积等于22平方厘米。注意，包含DE BC 4s 3s 2 O 1 CB D A O CB DA这两类的相似度模型大致可以分为两类:金字塔模型和沙漏模型3。相似三角形的性质:相似三角形的所有对应线段(对应高度和对应边)之比等于相似比；相似三角形周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比
25、的平方相似三角形:两个形状相同但大小不同的三角形相似；2.找到相似模型的前提是平行线:平行于三角形一边的直线与另两边或它们的延长线相交，形成的三角形与原三角形相似。(4)类似模型1另一方面，也可以得到面积对应的对角线的比例关系。不规则四边形的面积关系可以通过积木与四边形中的三角形连接起来。蝴蝶定理为我们提供了一种理解不规则四边形面积问题的方法:根据任意四边形蝴蝶定理的性质，:1: 3ab d bcdao c os s delta，so 3326cao，so: 6: 32: 1co DO，即co是DO的两倍。Bs4S3S2O1O D CB A 35 25 O D CB A 2、任意四边形中的比例
26、关系(“蝴蝶定理”): 1243: S S S S s或1324S S S S Ss s12月34日，圣奥尔科s？，2 3月14日，圣博多S？例如如图，四边形ABCD delta的对角线AC BD与点o相交，若ABD delta的面积等于BCD delta的面积的13，且2AO，3DO，求CO的长度是DO的几倍。分析:根据梯形蝴蝶模型的性质，2: 25: 35 AOBOCS AB AB C D ，so:5:7 ABCD；因此，2 22: 5: 7 25: 4 9 A O B D O CS B C D ，即49 docs平方厘米，35 AOD Bocss平方厘米，则梯形AB CD的面积为:25+
27、35+49 = 144平方厘米。例如，如图所示，在梯形AB CD，ABCD，对角线AC BD，交点O，已知AOB BOC delta delta和delta的面积分别为25平方厘米和35平方厘米，梯形中梯形ABCD的面积比例关系(“梯形蝴蝶定理”)计算如下:24SS (因为ABC DBCS delta，AB C O BC D BC O BCS S S S delta)，2213:S SA B；221 2 3 4:S S S a b ab ab；梯形S对应的数字是2ab E CB AE D CB A E D CB A E D CB A E D CB A E D CB A E D CB A E D
28、 CB A E D CB A E D CB A E D CB A E D CB A E D CB A E D CB A:根据鸟头模型，ABC Ade S AB ACS AD AE delta， 所以55125023 A B A A D EA B A CSSA D A E(平方厘米)(3) 蝴蝶模型1找出ABC delta的面积是:Ade ABC S AD AES AB AC 证明:如图，连接BE，根据等积变换模型， 我们可以知道:ad e ab es s ad ab delta，:ab e c bes s e c e delta，so:A B E A B E B E B E B E E C B
29、 E S A E C E C delta因此，A E A D E A E B E B E B C B E C E S A D E A E E A E E E E E E S A BA B AC例如，如图所示， ABC delta中，D点在BA的延长线上，E点在AC上，且:abad5: 2，:3: 2aeec，ADE delta的面积为12平方厘米。 例如，在下面的ABC delta中，两个三角形中的一个，其中DE和AB AC，upper或AB AC分别与延长线上的点相等或互补，称为互补三角形。2.同角三角形的面积比等于对应角(相等或互补)两边的乘积比。解析:根据等积变换，11 24 1 222
30、 A D C A B CSS，11 12 622 A D E A D CSS，11 6322 D E F A D ess图3图2图1 FE B DC AB C D A D CB A F E D CB A (2)鸟头模型(余角定理)1求DEF的面积。两个底边相等、高度相等的三角形面积相等；2.两个三角形高度相等，面积比等于底比，如图1，:阿卜德ACDS BD CD delta delta；3.两个三角形的底边相等，面积比等于高度比，如图2:ACD BCDS S AE BF delta delta；4.一组平行线之间的等面积变形，如图3，ACD BCD SS delta delta相反，如果ACD BCD SS delta delta，直线AB CD为例，如图所示，ABC delta delta的面积是24，D E F，分别是BC AC AD，和五个模型的中点(1)等面积变换模型1小学数学奥林匹克几何五个模型简介1
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