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    小学奥数-公式大全.pdf

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    小学奥数-公式大全.pdf

    目录 计算板块 . 2 计数板块 . 5 数论板块 . 7 应用题板块 . 11 几何板块 . 15 行程板块 . 21 计算板块 1、 加法交换律 abba , bcacba 2、 加法结合律 cbacba 3、 乘法交换律 abba , bcacba 4、 乘法结合律 cbacba 5、 乘法分配律 cabacba 6、 “除法分配律 ” cbcacba 7、 减法性质 cbacba 8、 除法性质 cbacba 9、 商不变性质 nbnambmaba , 0,0 nm 10、 积不变性质 mbmaba , 0m 11、 等差数列相关项数 n ,公差 d ,首项 1a ,第 n 项 na ,前 n 项和 nS , 通项公式 dnaan 11 , dmnaa mn , 项数公式 11 daan n , 若 qpnm , qpnm aaaa 求和公式 21 naaS nn , 中项定理,奇数项等差数列 naS nn 2 1 从 1 开始连续自然数求和 2 121 nnn 从 1 开始连续奇数求和 21231 nn 从 2 开始连续偶数求和 1242 nnn 12、 多位数乘法 11099 9 n n MM 个 当 9 99 个n M 时,积的数字和为 n9 13、 222 2 bababa , 222 2 bababa 22 bababa , 111 baabba 32233 33 babbaaba 2233 babababa , 2233 babababa 14、 平方求和 1216121 222 nnnn 立方求和 222333 1412121 nnnn 15、 整数裂项 213113221 nnnnn 3214121432321 nnnnnnn 31212326112125331 nnnnn 分数裂项 1111132121 1 nnn 21 1 21 1 2 1 21 1 432 1 321 1 nnnnn 16、 缺 8 数 12345679 9 111111111 , 12345679 18 222222222 , , 12345679 81 999999999 ; 12345679 8 98765432 17、 走马灯数 742851.0 7 1 , 485712.0 7 2 , 128574.0 7 3 , 871425.0 7 4 , 514287.0 7 5 , 257148.0 7 6 2857142142857 , 4285713142857 , 5714284142857 , 7142855142857 , 8571426142857 , 9999997142857 . 18、 山顶数 1211111 , 12321111111 , 山顶数列求和 2121121 nnnn 222121121 , 23331232112321 , 奇数山顶数列求和 2 21 3 2 1 2 1 2 1 3 1 1n n n n n 19、 重码数 ababab 101 , ababab 01001 abcabcabc 1001 , abababab 10101 20、 车轮数 111143214123341223411234 21、 循环小数化分数 9.0 aa , 0. 99abab , 0. 990abc aabc 附若一个最简分数,它的分母仅含质因数 2 和 5,则它可化为有限小数,反之必为无 限循环小数;若分母仅含 2,5 以外的质因数,则必可化为纯循环小数,若分 母含质因数 2 或 5,且含 2,5 以外的质因数,则必可化为混循环小数 . 22、 等比数列相关 1111 1 11 1 1 1 qqqaaqqaS qnaS qaa n n n n n n 23、 常用数列 1,4,9,16,25,36, , 2nan 0,3,8,15,24,35, , 12 nan 1,3,7,13,21,31, , 12 nnan 1,2,4,8,16,32, , 12 nna 1,1,2,3,5,8,13, , 21 nnn aaa 1,3,6,10,15,21, , 121 nnan 计数板块 1、 容斥原理 二元容斥 BABABA 三元容斥 CBACACBBACBACBA 2、 抽屉原理 苹果数 抽屉数 n 商 余数 余数( 1)余数 1nx1x , 结论至少有 “商 1”个苹果在同一个抽屉里 ( 2)余数 0, 结论至少有 “商 ”个苹果在同一个抽屉里 3、 排列组合 排列 mn n1mn2n1nnAP mnmn 组合 mmn n12m1mm 1mn2n1nnCmn 其他 1CC nn0n , mnnmn CC , 0 1 2 n nn n n nC2C C C 常用方法捆绑法;插空法;隔板法;排除法;枚举法 4、 几何计数 线段一条线段被分成 n个互不重叠的小线段,那么这条线段共包含的线段数 为 2 1 11 2 3 12nn C n n 条。 角一个角被分成 n个互不重叠的小角(大于 0,小于 180),那么这个角共 包 含的角数为 2 1 11 2 3 12nn C n n 个。 三角形一个三角形底边被从对顶点引的线把底边分成 n个互不重叠的小线 段,那么这个三角形共包含的三角形数为 2 1 11 2 3 12nn C n n 个。 长方形 网格状图形中,长方形(包含正方形)的个数长边上所有线段数 宽边上所有线段数。 正方形一般的,一个长方形的长被分成 n 份,宽被分成 m份( mn ,每小 格 均 为 相 等 的 正 方 形 ), 那 么 这 个 长 方 形 中 正 方 形 的 总 数 为 1 1 1 1n m n m n m 包含 的长方形个数 上线段数 下线段数 左线段数 右线段数 所有长方形的面积和长边上的所有线段的长度和 宽边上的所有线段的长度 和 5、 归纳计数 n 个图形最多可把平面分成部分数 1. 直线 12 2 3 1 12n n n 2. 圆 2 2 4 2 1 2 1n n n ( ) 3. 椭圆 2 4 8 4 1 2 2 1n n n 4. 三角形 2 6 12 6 1 2 3 1n n n ( ) 5. 长方形 2 8 16 8 1 2 4 1n n n ( ) 数论板块 1、 奇偶性质 奇数 12 k ,偶数 k2 ; 性质 1偶数 偶数 偶数,奇数 奇数 偶数 性质 2偶数 奇数 奇数 性质 3偶数个奇数的和是偶数 性质 4奇数个奇数的和是奇数 性质 5偶数 奇数 偶数,奇 数 奇数 奇数,偶数 偶数 偶数 常用 ba 与 ba 奇偶性相同 . 2、 质数 ( 1) 100 以内质数 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97,共计 25 个 ( 2) 0 和 1 不是质数,也不是合数 ( 3) 除了 2 其余的质数都是奇数 ( 4) 除了 2 和 5,其余质数个位数字只能是 1, 3, 7 或 9 ( 5) 常用质数 101,103,107,109,2017 ( 6) 最小 三位质数 101;最大三位质数 997;最小四位质数 1009;最大四位质数 9973 ( 7) 最小偶合数 4;最小奇合数 9 3、 部分特殊数的分解 373999 3 ; 131171001 ; 59171003 ; 2714111111 ; 1377310001 ; 197531995 ; 22332007 2 ; 25122008 3 ; 4172009 2 ; 50322012 2 ; 611132013 ; 531922014 ; 311352015 ; 7322016 25 ; 37137310101 4、 数的整除(部分可用于求余数) 数尾 末一位 2,5 末两位 4,25 末三位 8, 125 末 n 位 n2 , n5 数和 一位截断求和 9,3 两位截断求和 99,33, 三位截断求和 999,333,111,27,37, n 位截断求和 9 999 个n ,及 9 999 个n 的所有约数 数差 一位截断作差 11 两位截断作差 101 三位截断作差 1001,7,11,13 n 位截断作差 1001 01 个n ,及 1001 01 个n 的所有约数 5、 约数倍数 ( 1)约数个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数 次 数 加 1 后所得的和的乘积。 如 1400 严格分解质因数之后为 322 5 7,所以它的约数有 24111213 个; ( 2)约数和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依 次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的 所有约数的和。 如 3321000 2 3 5 7 ,所以 21000 所有约数的和为 2 3 2 31 2 2 2 1 31 5 5 5 1 7 74880 ( 3) 求最大公约数与最小公倍数主要方法短除法、分解质因数法、辗 转相除法 ( 4) babaab ,, 6、 余数三大定律 ( 1) 余数的加法定律和的余数等于余数的和的余数; ( 2) 余数的减法定律差的余数等于余数的差;(特别的余数相同称为同余) ( 3) 余数的乘法定律积的余数等于余数的积的余数; 7、 完全平方数 200 210 100 220 400 230 900 240 1600 特殊平方数 211 211 121 221 441 231 961 241 1681 212 144 221 441 224 212 144 222 484 232 1024 242 1764 213 169 231 961 239 213 169 223 529 233 1089 243 1849 233 1089 299 9801 24 16 214 196 224 576 234 1156 244 1936 接近 2016平方数 245 2025 25 25 215 225 225 625 235 1225 245 2025 26 36 216 256 226 676 236 1296 246 2116 第一个四位平方数 232 1024 27 49 217 289 227 729 237 1369 247 2209 28 64 218 324 228 784 238 1444 248 2304 29 81 219 361 229 841 239 1521 249 2401 个位 0、 1、 4、 5、 6、 9 奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数 十位 十位是奇数 个位是 6 个位是 5 十位是 2 奇 约 数 完全平方数 奇数个约数 偶 指 数 完全平方数 质因数指数是偶数 余数 0、 1 ( mod 3) 0、 1 ( mod 4) 偶数的平方是 4的倍数 ;奇数的平方除以 4余 1 0、 1、 4 ( mod 5) 0、 1、 4 ( mod 8) 奇数的平方除以 8余 1;偶数的平方除以 8余 0或 4 0、 1、 4、 7 ( mod 9) 0、 1、 4、 9 ( mod 16) 整除性 如果质数 p能整除 a,但 p的平方不能整除 a,则 a不是完全平方数 连续性 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数 8、 进位制 ( 1)其他进制转 10 进制, 位值原理展开,例 51636261123 0126 ( 2) 10 进制转其他进制,短除,倒取余数。 应用题板块 一、 归一、归总问题 正归一总工作量 每份工作量 份数 反归一份数 总工作量 每份工作量 每份工作量 总工作量 份数 二、 和差倍 1、和差问题 已知 较大的数 -较小的数 两数的差 较大的数 较小的数 两数的和 那么我们可以求出 较小的数 和 差 2 较大的数 和 差 2 2、和倍问题 已知 较大的数 较小的数 两数的和 较大的数 倍数 较小的数 那么我们可以求出 较小的数 和 倍数 1 较大的数 较小的数 倍数 或 较大的数 和 -较小的数 3、差倍问题 已知 较大的数 -较小的数 两数的差 较大的数 倍数 较小的数 那么我们可以求出 较小的数 差 倍数 1 较大的数 倍数 较小的数 或 较大的数 和 -较小的数 三、 盈亏问题 1、盈亏型 盈 亏 两次分得之差 人数或单位数 2、盈盈型 盈 盈 两次分得之差 人数或单位数 3、亏亏型 亏 亏 两次分得之差 人数或单位数 四、 鸡兔同笼 问题 常用方法 假设法,方程 总差 单位差 单位数 五、 平均数问题 平均数 总数量 总份数 六、 页码问题 19 页 991 个数码 1099 页 180902 个数码 七、 植树问题 通用公式全长 株距 段数 1、不封闭的植树路线 . 两端都植树 段数 棵数 1 一端植树 段数 棵 数 两端都不植树段数 棵数 1 2、封闭的植树路线圆、正方形 、长方形、闭合曲线等 棵数 段数 周长 株距 . 八、 方阵问题 通用公式每层总数 每边人(或物)数 - 14 每边人(或物)数 每层总数 4 1 1、实心方阵 总数 最外层每边人(或物)数 2 2、空心方阵总人 (或物)数 (最外层每边人(或物)数 层数) 层数 4 (最外层人(或物)数 最内层人(或物)数) 层数 2 九、 牛吃草问题 思路 假设 1 头牛 1 天吃草量为 “1”; 草长型 第一步草生长速度 较少牛数 较多天数 较多牛数 较少天数 较多天数 较少天 数 ; 第二步原来的草量 (牛数 草的生长速度) 天数; 第三步天数 原来的草量 牛的头数 草的生长 速度 ; 牛数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度 草减型 第一步草减少速度 较多牛数 较少天数 较少牛数 较多天数 较多天数 较少天 数 ; 第二步原来的草量 (牛数草的生长速度) 天数; 第三步天数 原来的草量 牛数草的减少速度 ; 牛数 原来的草量 天数草的减少速度 十、 工程问题 思路工作总量一般抽象成单位 “1” 常用公式 工作总量 工作效率 工作时间, 工作效率 工作总量 工作时间, 工作时间 工作总量 工作效率; 十一、 经济问题 常用公式 售 价 成 本 利 润 100 100 售 价 成 本利 润 率 利 润成 本 成 本 1 售 价 成 本 ( 利 润 率 ) 1 售 价成 本 利 润 率 利息 本金 利率 期数; 十二、 浓度问题 溶液的质量 溶质的质量 溶剂的质量 浓度 溶液质量溶质质量 100 溶质质量 溶质质量 溶剂质量 100 溶质质量 溶液质量 浓度 十字交叉法 (令 A 溶液浓度大于 B 溶液浓度) 几何板块 1、 角 ( 1) 锐角、直角、钝角、劣角、平角、优角、周角 ( 2) 内角 n 边形内角和 180 2n 度 ,正 n 边形内角 nn 2180 度 ( 3) 外角 凸 多边形外角和均为 360 ( 4) 常用等腰三角形两底角相等;直角 90;正三角形每个角 60;等腰直角三角形底角 45 2、 一笔画与多笔画 ( 1) 偶点、奇点一个图形中与偶数条线相 连接的点叫做偶点,相应的把与奇数条线相连 接的点叫做奇点 ( 2) 对于连通图形有 0 个奇点,可以从任意点出发一笔画成并回到该点结束;有 2 个奇 点,可以一笔画,但是必须从一个奇点出发,另一个奇点结束;有 02 nn 个奇点,需 n 笔 画 ( 3) 多笔画变一笔画在两奇点之间添线或去线 3、 周长 ( 1) 公式 长方形 2 baC ; 正方形 aC 4 ; 圆 drC 2 弧 rnl 180 ( 2) 巧求周长平移、拉角、标向 ( 3) 周长拼割每剪一刀增加两条拼接处的边长,每拼一次减少对应拼接处的两条边长 4、 面积 ( 1) 公式 长方形 abS , 正方 形 2aS 三角形 12S ah 平行四边形 ahS 梯形 2 hbaS 圆 2rS 扇形 2360 rnS 特别的 任意对角线垂直的四边形( 筝 形,特殊的有菱形)面积等于对角线乘积除以 2; 等腰直角三角形面积等于斜边的平方除以 4 ( 2) 格点面积 正方形格点 (单位 正方形面积为 1) 12 LNS 三角形格点 (单位 三角形面积为 1) 22 LNS 主要思想割补 5、 勾股定理 ( 1) 勾股定理 222 bac ( 2) 常用勾股数( 3,4,5),( 3n,4n,5n) ,( 5,12,13),( 7,24,25) ( 3) 弦图 ( 4) 毕达哥拉斯树每长一层,增加的面积等于最初正方形的面积 6、 五大模型 ( 1) 等高模型(需重点关注一半模型) ba S2S1 DC BA 12S S a b 一半模型 平行四边形 任意四边形 梯形 ( 2) 鸟头模型(有角相等与 角互补两种) E D CB A D E CB A ABC ADES S AB AC AD AE ( 3) 相似模型(有金字塔与沙漏两种) G F E A B C D A B C DE F G AD AE DE AF AB AC BC AG 22 ADE ABCS S AF AG ( 4) 蝴蝶模型(任意四边形与梯形两种) O D CB A s 4 s3 s2 s1 A B C D O b a S3 S2 S1 S4 1 2 4 3S S S S 或者 1 3 2 4S S S S , 1 2 4 3AO OC S S S S 2213S S a b 22 1 3 2 4 S S S S a b ab ab ( 5) 燕尾模型 O F E D CB A ABO ACOS S BD DC 7、 立体图形 ( 1) 表面积 长方形 cabcabS 2 正方形 26aS ( 2) 体积 长方体 abcV 正方体 3aV ( 3) 正方体展开 ( 4) 三视图主视图、俯视图、左视图 ( 5) 染色 三面染色 8 二面染色 2224 cba 一面染色 2222222 accbba 零面染色 222 cba 行程板块 相遇和追及 tvs tvs vts 差差 和和 火车过桥 a、过树 tvls 车车 b、过人 tvvls tvvls )(追上 )(迎面 人车车 人车车 - c、过桥 tvlls tvlls 车车桥 车车桥 完全在桥上 完全过桥 d、过火车 tvvlls tvvlls )( 追上 )( 迎面 慢快慢快 慢快慢快 - e、过火车上的人 tvvls tvvls )( 追上 )( 迎面 慢快快 慢快无人车 - 流水行船 水船逆 水船顺 vvv vvv - 22v v vv v v 顺船 逆 顺水 逆 ( ) ( ) 附水中相遇与追及同时出发,不计水速。 扶梯问题 a、 人顺着扶梯的运动方向走台阶 人的速度扶梯速度 人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数 时间 人速时间 扶梯速 人走的台阶数扶梯自动运行台阶数 b、 人逆着扶梯的运动方向走台阶 人的速度扶梯速度 人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数 时间 人速时间 扶梯速 人走的台阶数扶梯自动运行台阶数 发车间隔 a、 在班车里柳卡图 b、 在班车外 汽车间距 (汽车速度 行人速度) 相遇事 件时间间隔 汽车间距 (汽车速度行人速度) 追及事件时间间隔 汽车间距 汽车速度 汽车发车时间间隔 两人多次相遇 直线型( n 为迎面相遇次数) a、 同时两地相向 全程和 SnS 12 b、 同时同地同向 全程和 nS2S 环型 a、同时同地背向( n 为迎面相遇次数) 周长和 nSS b、同时同地同向( n 为追上次数) 周长差 SS n 猎狗追兔 步频步幅(步长)速度 钟表上的行程 min/6 min/5.0 分针 时针 v v 比例解行程 t 一定 2121 vvss v 一定 2121 ttss s 一定 1221 ttvv

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