1、增加的面积等于原始正方形6的面积， 五大模型:(1)轮廓模型(重点是半模型)BAS21DC BA12: S SA B半模型:平行四边形:任意四边形梯形:(2)鸟头模型(有等角和余角)E D CB A D E CB A:():()ABC S AB AC AD(3) 相似模型(有G E A B C A B C de F A AE de AF AB AC BC AG 22:Ade ABCs S A F AG:(4)蝴蝶模型(任意四边形和两个梯形) O CB A S4 S3 S2 S1 A B C D O B S3 S2 S1 S11243:S S S S或1324S S S S S1 43:AOOC
2、 S S S2213:S S A B 22 1 324:S S A B(5)燕尾形E D CB A: A Bo Acos BD DC 7、 图:(1)矩形表面积:Cabcabs2正方形:26as (2)长方体体积:abcv立方体:3av (3)立方体展开(4)三视图:正视图、俯视图、左视图(5)染色:三面染色:八面染色:2224 CBA追上tvs差和火车过桥A、过树tvls公交车B、路过人TV VLS)(追上:)(迎面:人、车、人、车-C、过桥tvlls tvlls车车轴完全在桥上:完全 穿越列车tvvls tvvls) Fast -e，列车上的人，TV vls) (catch up:)(迎面
3、:慢，快，慢，慢扶梯问题a .沿扶梯移动方向行走的人的步数:人的速度+扶梯速度=扶梯上的人的实际速度=扶梯静止时可见的总步数=时间，人的速度+时间，扶梯速度=人的步数+扶梯。 自动扶梯静止时可见的总步数=人的时间速度-人的时间自动扶梯速度=人行走的步数-自动扶梯自动运行的步数发车间隔A、班车中:柳卡图B、 班车外:车距=(车速+行人速度)相遇事件间隔车距=(车速-行人速度)追逐事件间隔车距=车速车离间隔两人多次相遇:直行型两地同时相对:全程和SNS) 12 (b、同地同向:全程和NS2S环型:A、 同一地点同一时间的周长与NSS B的周长之差(n为面对面相遇的次数)与同方向(n为追逐的次数)S
4、S n 猎犬追逐兔子的步伐(步)速度时钟上的行程:min/6 min/ 5.0分钟手v 比例分界t必须为2121: vvss V必须为2121: ttss s必须为1221: ttvv 4。 面积:(1)公式:矩形:ABS、正方形:2as三角形:12sah平行四边形:梯形:2hbas圆:2rs扇形:2366等腰直角三角形:面积等于斜边的平方除以4 (2)网格面积:正方形网格(单位正方形面积为1): 12LNS三角形网格(单位三角形面积为1): 22LNS主要思想:切线填充5、勾股定理:(1)勾股定理:2bac (2)常见勾股数:(3，4，5)。圆:DRC 2弧:RNL 180 (2)周长的巧妙
5、计算:平移、拉角、标方向(3)周长拼接:每切割一次增加两个拼接的边长，每拼接一次减少两个对应拼接的边长。经济问题常用公式:售价对成本利润100% 100%售价对成本利润率1售价对成本(利润率)1售价对成本利润率利息=本金利率期限十二。浓度问题溶液的质量=溶质质量+溶剂质量浓度=溶液质量溶质质量100% =溶质质量+溶剂质量100%溶质质量=溶液质量浓度交叉法(使溶液A的浓度大于溶液B的浓度):几何第一节，角度:(1)锐角、直角、钝角、下角、直角、上角和圆角；(2)内角:N多边形和180 2n度的内角；(3)外角:凸多边形的外角之和为360；(4)常用:等腰三角形的两个底角相等；直角90；每个三
6、角形角60；等腰直角三角形的底角为45 2，一笔多划:(1)偶数点和奇点:图形中与偶数线相连的点称为偶数点，相应地与奇数线相连的点称为奇点；(2)对于连通图:有0个奇点，可以从任意点到这个点的终点一笔画出；奇点有两个，一个可以做，但一个奇点必须开始，另一个奇点必须结束；有02nn个奇点，需要n笔(3)多笔一划:在两个奇点之间增加或删除一条直线。3常用公式:工作量=工作效率，工作效率=工作量，工作时间=工作量，工作效率；Xi10。工程问题思路:总工作量一般抽象为一个单位“1”型减草:第一步:减马虎(多牛少天少天多牛)(多天少天)；第二步:草的原始天数(牛的数量+草的生长速度)；第三步:每天的原草
7、量(牛数+减草率)；数着草原来的日子由草的递减速度想到牛吃草:假设一头牛吃草一天；草的种类:第一步:草的生长速度(多天少牛，少天多牛)(多天少天)；第二步:生草量(牛草生长速度)天数；第三步:每天的生草量(前几头牛的草的生长速度)；数一数牛吃原草的日子，草八的生长速度。问题矩阵通式:每层总人数(或物数)=每边人数(或物数)-14每层总人数(或物数)411，实心矩阵:总人数=最外层每边人数(或物数)2，空心矩阵:总人数(或物数)(最外层每边人数29-段数、周长、株距封闭植树路线:圆形、正方形、长方形、封闭曲线等。两端植树:段号=株数1 一端植树:段号两端不植树:段号=株数+1 2植树问题通式:株
8、距总长度段号1、开放植树路线页码1-9: 991号10-99: 180、 92数七平均问题平均数=总数总数6鸡兔同笼常用方法:假设法、方程总差单位差=单位数5损失类型:(损失)两只股票差异的人数或单位数4应用部分1、归一化、 归一化:总工作量=每个工作量的份数反过来为1:份数=总工作量=每个工作量的份数=总工作量的份数2、和差1、和差问题:已知较大的数-较小的数=两数之差，较大的数+。 然后我们可以求出:较小的数=(和-差)2，较大的数=(和+差)2，和倍数问题已知:较大的数+较小的数=两个数之和，较大的数=倍数较小的数，然后我们可以求出:较小的数=和(倍数+1)较大的数=较小数的倍数或较大的
9、数。那么我们就可以发现:较小的数=差(倍数-1)，较大的数=较小的数或较大的数=和-较小的数3、盈亏问题1、盈亏类型:(盈亏)两个股份的人数或单位数差2、英英应:(英英)两个股份的人数或单位数差3、如51636261123 0126(例如)用余数8的短除法计算倒数。进位制:(1)将其他小数转换成小数，拓展了位值原理。两个相邻整数的平方之间的所有整数的连续性不是一个完整的平方数。(2)余数减法:余数之差等于余数之差；(特殊余数称为同余)(3)余数乘法原理:积的余数等于余数的积的余数；7、完整箱号200 210 100 220 400 230 900 240 1600特殊箱号211 211 121
10、 221 441 231 961 241 1681 212 144 221 441 224 212 144 224 222 484 232 1024 22 1764 213 169 21 961 239 213 16 2209 28 64 28 324 2228 784 238 1444 248 248 2304 2304 29 81十位数是偶数，十位数是奇数，六位数是50位数是奇数除数，奇数除数，奇数除数，偶数除数，完全数，质因数指数是偶数余数0，1 (mod 3) 0，1 (mod 4)，偶数平方是4。 奇数的平方除以4加1 0，1，4 (mod 5) 0，1，4 (mod 8)奇数的平方
11、除以8加1；偶数的平方除以8大于0或40，1，4，7 (mod 9) 0，1，4，9 (mod 16)整除。如果素数P能整除A，但P的平方不能整除A，那么A就不是3321000 2357这样的完全平方数。所以2000的所有约数之和是2323(1222)(13)(1555)(17)74880(3)求最大公约数和最小公倍数的主要方法有短除法、质因数分解、滚动除法(4) babaab、6、余数三定律(1) N位截断和余数加法定律。99N的所有除数相差一位截断误差:11两位截断误差:101三位截断误差:1001，7，11，13 n位截断误差:1001 01 N，100101 N所有除数5、除数倍数(1
12、)除数个数:整数的除数是每个素数的指数(次数)加1所得和的乘积，如14000。(2)约数之和:一个整数的所有约数之和是该整数的所有约数之和。严格分解其素因子后，将整数的每个素因子从1加到素因子的最高次幂，然后将这些和相乘。乘积是整数131171001的所有约数之和？；59171003 ?？；2714111111 ?？；1377310001 ?？；197531995 ?？；22332007 2 ?？；25122008 3 ?？；4172009 2 ?？；50322012 2 ?？；611132013 ?？；531922014 ?？；311352015 ?？；7322016 25 ?？；33731
13、0101 4.整除一个数(其中一部分可用于余数):尾的最后一位:2，5最后两位:4，25最后三位:8，125最后n位:n2，n5数和一截断和:9，3两截断和:99，33，三截断和:99，333。至少四个质数:1009；最大四个质数:9973 (7)最小偶数:4；最小值:9 3 (4)除了2和5，其他质数的位数只能是1、3、7或9(3)除2以外的其他质数都是奇数(2) 0和1不是质数，也不是复数89、97，总计252。质数:(1)100以内的质数:2，3，5。k，偶数:K2；1性质:偶数=偶数，奇数=偶数性质2:偶数=奇数性质3:偶数和为偶数性质4:奇数和为奇数性质5:偶数=偶数，奇数=奇数，
14、偶数=偶数常用:BA和BA有相同的奇偶矩形:28 16 8 124(1)N N N n+(-)=+数论板1三角形:26 12 6 123 (1) N N N+(-) =+5椭圆:2 4 8 4( 1) 2 2 (1) N N N 4圆:22 =+3直线:12231(1)2 nnn+ =+2包含的矩形数=上线段数，下线段数 左线段数和右线段数所有矩形的面积之和=所有长线段的长度和所有宽线段的长度，5。 N的个数最多能把平面分成几个部分:1那么这个矩形的正正方形的总数是:(1) (1) (1) 1N N M M M+正方形:一般把矩形的长度分成N份，宽度分成M份(mn，每个单元格都是一个等正方形)
15、矩形:在一个网格状的图形中， 矩形(包括正方形)的个数=长边上所有线段的个数和宽边上所有线段的个数三角形:如果一个三角形的底边被从顶点开始的直线分成n个不重叠的小线段， 那么这个三角形包含的三角形总数为:21 11 23 (1) 2nnn c n n+=数角:一个角分成n个互不重叠的小角(大于0小于180)，那么这个角包含的角总数为:21 11 23(1)2 nnn n n+ =数4。 几何计数线段:将一条线段分成n条互不重叠的小线段。mn(！N) 1mn () 2n) (1n (napmnmn-=+-=组合:！m)！mn(！N1)2m)(1m(m)1mn()2n)(1n(ncmn-=-+-=
16、 others:1 cnn0n = =，mnnncc-=，012nnnnnc2cc+=常用方法:绑定法；插值方法；分区方法；排除法；枚举结论:同一个抽屉里至少有“上”个苹果22，几何级数相关:1111111111qqaqqas qas an n n n n 23，常见序列:1，4，9，16，25，36，2na0，3，8，15，24，35，。？南1，3，7，13，21，31，12？nnan 1，2，4，8，16，32，12？NNA1，1，2，3，5，8，12容差原理:bababa-+=三元容差:cbacacbbacbacbacba+ = 2、鸽子笼中苹果抽屉的数量原理(n) =商.余数:(1)余
17、数=) 1n x 1 (x-，结论:。5以外的质因数，则必须换算成混合循环小数加法交换律:ABBA，Bcacab2，加法和组合律:CBA CBA 3，乘法和交换律:ABBA，Bcacaba4，乘法和组合律:CBA CBA 5，乘法和分配律:cabacab6，除法和分配律:cbcacba7，减法的性质:CBA CBA 8，除法的性质:CBA CBA 9，商不变性:nbnambmaba，0，0nm10 0m11、等差数列相关:项数n、d、第一项1a、第n项数公式:11daan、if qpnm、Qpmaaaa求和公式:21 naasnn、中值定理、奇数等差数列:nasnn21连续自然数求和从1: 2
18、 121 nnn连续奇数求和从1: 21 231 nnn连续偶数求和从2: 1242 nnn12、多位数乘法:11099n mm当9 99n m时，乘积之和为 ？111 ?？巴巴？323333巴巴巴巴？233巴巴巴巴？23巴巴巴巴14、平方和:1216121 222 nnnn立方和:222333 1412121 nnnn 15、整数拆分项:213113221 nnnn 3214121432321 nnnnnnn 312123261212125331 nnnnnnnn分数项:11111111111125331NNNNNNN 2345679灯笼编号:742851.071，485712.072，128574.073，871425.074，514287.075，257148.0 7 6 2857142142857？,4285713142857 ?？,5714284142857 ?？、7142851 0.990 ABC AABC附:如果最简单的分数只有质因数2和5作为分母，则可以转化为有限小数，否则一定是无限循环小数；如果分母只包含2，5以外的质因数，则必须成为纯循环小数21计算表115旅行表11几何表7应用表5数论表2计数表目录计算表
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