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    小学奥数_平面直线几何重要模型.pdf

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    小学奥数_平面直线几何重要模型.pdf

    1 / 8 等高模型 结合三角形面积公式 1 2 1 2 1 2 ABC ABP APC S B C A H S B P A H S P C A H 故有 A B P A P C A B CS S S B P P C B C 等高模型是所有几何模型的基础 常见题型 已知图形中三条线段的比(图中标注),这类 题有三种问法( 1)已知阴影部分面积为 1,求 ABCS 的面积 ( 2)已知 ABCS 的面积为 1,求阴影部分面积 ( 3)直接问阴影部分占总体面积的几分之几 1 对于第一类问法,只需要严格按照图形面积的比例关系,一步步推倒即可 2 对于第二、三种问法,则需用到份数思想(往往在图形中只知道整体面积时用份数) 图中的 a 即可理解为一份(或用标数同理) 通过局部标份数的方式可以发现 10a( 10 份 ) 对应的面积为 1,那么一份即为 110 , 则阴影部分面积为 1 份,即 110 3) 对于第三类问法,则参照第二问的份数思想,整体为 10 份,阴影为 1 份,则占 110 试试下面这道题 (问法如同上述三问) 这个题是否缺少了辅助线呢 拓展(等积变形) PH CB A CB A 4 1 3 1 1 1 5a a3a a C B A 4 1 3 1 1 1 CB A 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 C B A 2 / 8 如图平行线间的三角形 ABP , 若 P点在平行线间随意拉动,形 成的新三角形和 三角形 ABP 面积相等, 其本质是同底等高,且平行线间的距离处处相等 常见图形 不难发现,等积变形依赖平行线而存在,什么图形里最多存在平行线呢,答案是正方形 可能大家对第三个图有些疑问,我们如何构造平行线把不规则的图形变换成较规则图形 进而求解呢,看下图 做 MP AC平 行 于 ,于是 2 1 0 2 1 0A M C A P CSS , 2PC 为 何 等 于 你 明 白 了 吗 鸟头模型 这个图形是否与我们上边最后一题有相似之处呢 这就是我们熟知的鸟头模型,而他的证明也与等高模型紧密联系 只要连接辅助线 MC,则有 1 2A M N A M CA M C A B CS S A N A CS S A M A B ,两式相 P P BA 610 610 4 10 M P 4 10 D CB A NM CB A NM CB A 3 / 8 乘则有 AMN ABC S AN AMS AB AC ,我们惊奇的由等高模型推导发现,共角的两个三角形面积比竟然 等于其等角的对应夹边线段乘积比,更让我们惊喜的是通过鸟头模型我们得到了此类图形中 的阴影面积占总体面积的几分之几这对我们处理下面一些问题异常重要 常见题型 仍然是三类问题 1 整体面积为 1,求阴影部分面积 2 阴影部分面积为 1,求整体面积 3阴影部分占整体面积的几分之几 通过鸟头模型我们很快能得到两块空白面积占总体面积的几分之几,这里结合分数思想, 我们可以用整体(也就是单位 1)减去这两个分数,就得到了阴影部分的占整体面积的 几分之几,再根据分数应用题里我们学到的知识,解决上诉三个问题可谓轻轻松松 这类题目相信大家也不陌生,如何求阴影部分面积占整体面积的几 分之几呢,还是借用我们的份数思想, 借助鸟头模型标出图中各个 三角形面积,可求出整 体面积即为 7a 7 份 ,易得阴影部分占了整体 17 拓展 关于鸟头模型,有这么常见的四种图形,其都满足面积比等于等角或补角的夹边线段乘 积比,关于他们的证明可查看之前的第 5 讲知识点精讲,在此不赘述 这些图形中,或有相等的角,或有互补的角,只需要找到其对应角的夹边线段乘积,就 可以求出两个三角形的面积之间的关系 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2a 2a 2a a 4 / 8 蝴蝶模型 任意凸四边形中的蝴蝶模型 ABC ADCSS 和 就像是两个等高模型靠在一起 蝴蝶模型的三大境界 1. 2 4 1 3S S S S 蝴蝶模型乘积式 2. 2 3 1 4 S S S S A M M C 由等高模型而来蝴蝶模型比例式 3 2 1 21 3 4 3 4 ABD B D C S S SSS AMS S S S S M C 拓展(风筝模型) 借助蝴蝶模型的第三境界,我们得到了风筝模型的 结论, ABD BDC S AMS MC , 风筝模型的证明如上直接运用比例的性质即可,而其常见 的题型与蝴蝶模型也密不可分,如 已知 7 , 1 5 , A B D A B C DS S A M M C四 边 形 问 梯形中的蝴蝶模型 梯形中蝴蝶模型最重要的一个结论为翅膀相等 也就是说阴影部分的两个三角形相等(此图形中是否还存在面积相等的两个三角 形呢)因为梯形存在两条平行线,故同底等高,我们还能知道 ,A C D B C D A B C A B DS S S S M S 4 S 3 S 2 S 1 D CB A M D C B A M D C B A M DC BA 5 / 8 常见题型 1 知三求一 结合蝴蝶模型第一境界结论即可解答 2 已知四边形整体面积为 24,求其余两块面积 由等高模型可知 , 2 6 1 3A M D D M CS S A M M C ,又有 24 2 6 16ABCS , ABMS 占 ABCS 的 14 , 结合分数思想 , ABMS 的面积为 116 44 3) 已知 MDCS 的面积为 125,AD 平行于 BC ,并且平行 于 MP, 那么阴影部分面积为多少呢(提示 AMP MDPSS , MBP MCPSS ) 4) 已知 M N 是三等分点,整体面积为 24,求阴影部分面 积(此题需要借助沙漏模型的一些结论,见下图) 拓展 平行线间有 ,则有 A B C D A P P D B P P C 64 2 M D 62 A CB PM DA CB P NM D CB A P DC BA 6 / 8 仍然是只知道整体面积,求局部面积我们可以选择标份数, 根据沙漏模型的结论,很快就能标出梯形中的各块三角形面积,对于这题来说,有个特 别的技巧是,我们发现 39aa 拼凑成了长方形的一半模型,那么 12a (即 12 份)对应 的面积为 24 212,一份的面积为 1,阴影部分面积就好求解了 燕尾模型 燕尾模型中的 “横竖比 ” 1. 2 3 1 4 S S S S A M M D竖比等高需记牢 2. 2 1 2 1 2 1 3 4 3 4 M C B S S S S SS AMS S S S S M D 类比蝴蝶模型学习 3. 14 23 SSBDS S DC 横比式蝴蝶模型的精髓 燕尾模型的三种证明方式 为什么 1 2 4 3S S S S 1. 1 2 1 4 4 3 2 3 S S S SAMS M D S S S 等 高 模 型 (内项交换) 2. 4 4 1 3 3 2 A B D A B D A D C A D C S S S S SS S S S S 比 例 性 质 3. 纯几何角度分析, 1 2 1 2 1 2 ABM MAC S AM h S AM h 311 2 4 2, M A B M A C SS h hS h S h 同 理 14 23 SS 见下 图 3a 9a 3a P NM D CB A M B A S 4 S 3 S 2S 1 D C M B A S 4 S 3 S 2S 1 D C 7 / 8 常见题型 1 为了区分,用不同颜色给燕尾着色,这里我们发现 12红 蓝红 绿 12 第三边的线段比即为蓝比绿,为 2 211绿 蓝 2 知道内部和外部各一条线段比,我们可以通过标份数很快求 出各线段之间的比值(下图)你能标出份数吗 3 我们不禁要问知道内部两条线的比,能求出其他线段比之间 M D CB A h 2 h 1 S4S3 S2S1 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2a 4a 2a 2 1 21 a 2 1 2 1 8 / 8 的关系吗,答案是肯定的,仍然是借助于燕尾模型(为了区分涂色) 2 1 2 1( 红 加 绿 ) 蓝( 蓝 加 绿 ) 红 , 由此我们能推出所有边上的比例关系 拓展(燕尾常见拓展分两种,一种是三线没交于一点,内部出现了三角形) 三角形 ABC 中, 4 3A F F B B D D C C E A E ,且三角形 ABC 的面积是 74 , 求角形 GHI 的面积 【解析】 连接 BG, AGCS 12 份 根据燕尾定理, 4 3 1 2 9A G C B G CS S A F F B , 4 3 1 6 1 2A B G A G CS S B D D C 得 9BGCS 份 , 16ABGS 份 ,则 9 12 16 37ABCS 份 ,因此 12 37AGCABCSS , 同理连接 AI、 CH 得 12 37ABHABCSS , 12 37BICABCSS , 所以 3 7 1 2 1 2 1 2 1 3 7 3 7GHIABCSS 三角形 ABC 的面积是 74 ,所以三角形 GHI 的面积是 174 2 37 燕尾常见拓展分两种,第二种是内部的线并不是从顶点出发 已知三边线段比,求 MPPN 如图标出份数,即可根据燕尾模型得到 APC 的面积为 a , 再根据等高模型, 11AM MC 可知 12 PMCSa ,再根据等高模型可知 MPPN 为 14 2 1 2 1 I H G F E D CB A I H G F E D CB A N MD CB A 1 3 1 1 21 P 1 3 2aa N MD CB A P

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