1、 即根据燕尾模型，APC的面积为A，那么根据等高线模型，可以知道12 PMCSa，然后根据等高线模型，MPPN为1:42 21 I H E D CB A I H E D CB A N MD CB A 13 121 P 13 A N MD CB A P 二、内线段不从顶点开始:三边线段的比值已知，MPPN数如图【解析】。根据燕尾定理，BG和AGCS 12部分连接:4:312:9 A G C B G CS S A F B，:4:316:12 A G C S B D C，得到9 BGCs(部分)。1abgs delta (part)，那么9 12 16 37 abcs delta (part)，那么
2、12 37 agcabcsdelta，用同样的方法连接AI和CH，得到12 37 abccsdelta，12 37 bicabcss delta燕尾接头有两种常见的展开形式，分别是基于燕尾模型(区分着色)2: 1 2: 1(红加绿):蓝(蓝加绿):红，从中可以推导出各边比例关系的展开(燕尾有两种常见的展开形式， 一种是三条线不相交于一点，内部出现一个三角形):在三角形ABC中，:4.3 AFB D C E E，三角形ABC的面积为74，角GHI的面积为3。 我们不禁要问，如果知道了两条内线段的比值，是否可以求出其他线段的比值之间的关系，例如M D CB A H 2h 1s 4s 32s 1 2
3、1 21 21 2a 2 1 21 8/8？答案是肯定的。知道了各线段的内外比，就可以通过数字快速计算出各线段的比值(如下图)。这里我们发现=1:2=红:蓝-红:绿1:2，第三条边的线段比例为蓝绿，即=2: 2=1:1:绿:蓝2来区分燕尾。用不同颜色给燕尾模型着色的三种证明方法:why 1 243:S S S S 1.1 21 44 323()S S S S M D S S等模(内项交换)2.44 1 32()A B D A B C C S S S S S S S S S比较定性3 .纯几何角度分析，1 21 21 ABM MAC S？?311 2 4 2，M M M M A C SS H H
4、S H定理14 23 SS(见下)33A P nm D CB A B S 4S 31D C B S 4S 31D C 7/常见问题:1。学习3.14 23 ssbdsdc蝴蝶模型的精华部分的阴影面积可以解出燕尾模型中的“横纵比”:1.2314:s s a m d高度比需要牢牢记住2.21 21 343 4m c b s s s s AMS s s s s m d蝴蝶模型那么1 2a(也就是12个部分)对应的面积是24 2 = 12，一个部分的面积是1。对于这个问题，有一个特长，我们发现39aa？拼凑一个长方形的半模型。根据沙漏模型的结论，我们可以快速标记出梯形中每个三角形的面积展开:如果有平行
5、线，则有:A B C D A P D B P C？6 m d62 a CB PM da CB P nm D CB A P DC BA 6/8仍然只知道整个地区。我们可以选择标记的数量来计算局部区域阴影部分的面积(这个问题需要沙漏模型的一些结论，见下图)。只有求出其对应角的裁剪线段的乘积，才能求出两个三角形面积的关系。211212121211111112 a2a2aa 4/8蝴蝶型号是哪个？任意凸四边形中的蝴蝶模型:ABC ADCSS sum就像两个等高模型靠在一起的蝴蝶模型的三个境界:1.24 1 3 S S S S S(蝴蝶模型的乘积公式)2.2.3 1 4: S A M C(由轮廓模型得到
6、的蝴蝶模型比例公式) 3.2 1 21 3 4 Abd B D C S AMS S M C Delta展开(风筝模型):借助蝴蝶模型的第三境界，我们得到风筝模型的结论，Abd BDC s AMS MC delta，风筝模型的证明可以直接应用上面提到的标度性质，其常见问题也与蝴蝶模型密切相关，如:已知7，15，:= A B D A B C D A M C四边形问题？ 梯形中的蝴蝶模型:梯形中的蝴蝶模型最重要的一个结论就是翅膀是相等的，也就是阴影中的两个三角形是相等的(这张图中有两个面积相等的三角形吗？)由于梯形中有两条平行线，与底边等高，所以我们仍然可以知道C D B C D A B D SS
7、4S 2s 1 dcb A M D B A M D D B A M D B A M DC BA 5/8 FAQ 1)知道三个要求可以结合蝴蝶模型第一境界的结论求解2)已知四边形的总面积为24 根据等高线模型剩余两块的面积可以知道如下:2613am d m c s a m c delta:，和242616abcs delta，占abcs delta的14，abcs delta的面积为116 = 44 3)已知MDCS delta的面积为125，AD平行于BC和MP， (提示:amp MDP SS，MBP MCPSS ) 4)已知M N是一个三等分图，总面积为24。这里，我们将不重复这些图形的细节
8、，无论它们是等角的还是多余的。详见前面第5讲发现全身面积为7a (7份)，易遮挡部分占全身展开17:至于鸟头。常见的图形有四种，都满足等面积比或余角的边段的乘积比。如何计算阴影部分占总面积的百分比，还是用我们股份的思路，借助鸟头模型，标出图中每个三角形的面积。这类问题相信大家都不陌生。那么，根据我们在分数申论题中学到的知识，就很容易解决申诉三题了。结合分数的思想，我们可以把这两个分数从整体(也就是单元1)中减去，得到总面积中的阴影部分。通过鸟头模型，我们可以快速得到这两个空白区域占总面积的百分比。阴影部分的面积是1，阴影部分的面积是3，阴影部分的面积是1，阴影部分的面积是2。常见问题:或者说三
9、种问题:1更让人惊讶的是，通过鸟头模型，我们得到了这类图形中阴影面积占总面积的百分比！处理好以下问题对我们来说极其重要:1: 2A M N A MC A B CS A C A B ，两相P BA 610 610 40m P 410D CB A nm CB A nm CB A nm CB A nm CB A nm CB A 3/8乘法有AMN ABC S AN AMS AB AC我们惊奇地发现，两个同角三角形的面积比等于对应的同角裁剪线段的乘积比。我们如何构造平行线将不规则图案转化为规则图案然后求解？看下图让MP AC并行，那为什么210210am p CSS和2pc等于你呢？明白了吗？鸟头模型
10、的身材和我们上面最后一个问题相似吗？这就是我们熟悉的鸟头模型。他的证明也与大纲模型密切相关。可能大家对第三个数字有些疑惑。答案是正方形常见的图形:不难发现，等面积的变形取决于平行线，在什么图形中平行线最多。如果在平行线之间随机拉P个点，新三角形和三角形ABP面积相等，本质是同底同高，平行线各处距离相等，那么阴影部分的面积为1。也就是110 3)第三个问题，参考第二个问题的思路，总数为10，影子为1，那么试试下面这个问题:(问题和上面三个问题一样)(这个问题有没有辅助线缺失？)膨胀(等面积变形):PHCB A CB A 413115 A A3A C B 41311 CB A 212121 CB
11、A 2/8是如图所示平行线之间的三角形。ABP图中的a可以理解为一个部分(或者可以发现10a的10个部分(10个部分)对应的面积是1，那么一个就是1102)对于第二个和第三个问题，你需要运用份数的思想(往往整个面积都在图中，你才知道份数)。严格按照图形面积按1/的比例关系一步步往下推就行了。8等高线模型结合三角形面积的公式:1 21 21 2 ABC ABP APC SBC A H SBP A H SBP A H P A H P C A H所以有:ABP A C B CS B P C (等高线模型是所有几何模型的基础)常见问题:已知图中三条线段的比值(图中标注)，此类问题有三种提问方式:(2)已知阴影部分的面积为1；(3)直接问阴影占总面积的百分比。1)对于第一类问题，
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